원주 고3수학과외
조건을 먼저 읽어야 덧셈정리가 맞아떨어진다
9월 모의평가 기록을 함께 펼쳤을 때, 학생의 오답은 계산보다 앞 단계에서 시작되어 있었다. 문제에는 전체 학생 중 특정 조건을 만족하는 집단만 조사한다는 문장이 있었지만, 학생은 그 제한을 표시하지 않은 채 사건 A와 B의 확률을 전체 표본공간에서 계산했다. 그 결과 실제로는 허용되지 않는 경우까지 포함한 채 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)를 적용했다.
예를 들어 표본공간을 전체 학생으로 두고, 사건 A를 “수학을 선택한 학생”, 사건 B를 “과학을 선택한 학생”이라고 하자. 문제에서 “과학을 선택한 학생 중 수학도 선택한 학생의 비율”을 묻는다면, 관심 대상은 전체가 아니라 사건 B 안으로 좁혀진다. 이때 필요한 값은 P(A∩B)/P(B)이지, 전체 표본공간을 분모로 둔 단순한 합집합 확률이 아니다. 학생은 이 조건을 식에 넣지 않고 후보를 계속 계산했으며, 마지막에 답의 범위가 이상해진 뒤에야 오류를 알아차렸다.
오답을 만든 첫 줄을 찾아서
풀이를 거꾸로 고치는 대신, 처음 적은 식 옆에 문제의 제한 문장을 다시 붙여 보게 했다. 학생이 해야 할 일은 계산을 전부 다시 하는 것이 아니라, 첫 줄에서 전체 표본공간과 조건 사건을 분리하는 것이었다. 종이에 왼쪽에는 Ω를, 오른쪽에는 조건 사건 C를 적고 “C 안에서 비교”라고 표시했다.
그 뒤 다음과 같은 간단한 자료를 사용했다. 전체 100명 중 A에 속한 학생이 40명, B에 속한 학생이 30명, 두 사건에 동시에 속한 학생이 12명이고, 조건 C에 해당하는 학생은 50명이라고 하자. 문제에서 C 안의 A와 B가 각각 20명, 18명이며 교집합이 8명이라고 제시했다면 C가 새로운 표본공간이다. 따라서 C 안에서의 합집합은 20+18-8=30명, 확률은 30/50이다. 전체 자료의 40+30-12를 사용하는 것은 다른 질문에 답하는 셈이다.
학생은 빠진 조건만 첫 줄에 복원한 뒤 계산을 이어 갔다. 특히 사건 자체인 A, B와 “C라는 조건 아래에서 본다”는 문장을 같은 종류의 기호처럼 다루지 않도록 구분했다. 원주 생활권에서 진행한 원주과외 학습 기록에서도 이 표시를 풀이 시작 전 10초 동안 먼저 남기게 하자, 계산 중간에 분모를 바꾸는 일이 줄었다.
표현이 바뀌어도 표본공간을 놓치지 않기
독립 적용에서는 숫자만 바꾸지 않고 문제의 모양을 바꾸었다. 이번에는 학생 수 대신 상자에 들어 있는 카드의 색으로 제시했다. 전체 카드 중 빨간 카드의 사건을 A, 숫자가 3의 배수인 카드의 사건을 B, 이미 짝수 카드만 남긴 상황을 C라고 했다. 질문은 “짝수 카드만 남긴 뒤 빨간색 또는 3의 배수인 카드가 나올 확률”이었다.
학생은 처음에는 빨간 카드와 3의 배수 카드를 전체 카드에서 세려 했지만, 곧 C에 해당하는 카드만 새 표에 옮겼다. 그 표 안에서 A∩C, B∩C, A∩B∩C를 각각 확인하고
P((A∪B)∩C)=P(A∩C)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)
로 정리했다. 조건이 앞에 붙었다고 해서 A와 B 자체가 달라지는 것이 아니라, 실제로 세는 표본공간과 교집합의 범위가 달라진다는 점을 식과 표에서 함께 확인한 것이다. 보기 없이 답을 구성하도록 하자, 학생은 “C 안에서 A 또는 B”라고 문장으로 먼저 말한 뒤 수식을 작성했다.
새 조건을 만났을 때의 자립 여부
마지막 검증 문제는 문항 순서를 뒤집고, 조건을 문제 첫 문장이 아닌 표의 제목에 넣었다. 표의 제목은 “조건 D를 만족한 시행만 기록”이었고, 보기에는 전체 시행의 확률과 D 아래의 확률이 함께 제시되어 있었다. 학생에게 별도 힌트를 주지 않자, 먼저 D를 조건 사건으로 표시하고 표본공간을 D로 제한했다. 이어 A와 B의 합집합을 세면서 교집합을 한 번 빼야 하는 이유를 설명했다.
검산도 전체 식을 다시 계산하는 방식이 아니었다. 학생은 자신이 가장 위험하다고 판단한 분모와 교집합 항만 원자료에 재대입했다. 합집합의 확률이 각 사건의 확률보다 커지지 않는지, D 안에서 센 개수가 표의 전체 개수를 넘지 않는지도 확인했다. 마지막으로 “조건이 사라지면 전체 표본공간의 계산으로 돌아가지만, 조건이 남아 있으면 D 안에서만 덧셈정리를 적용한다”고 결론을 역추적했다. 조건을 먼저 표시하고 사건과 분모를 분리하는 행동이 새로운 표현에서도 유지된 것이다.