행구동 중등수학과외

행구동중등수학과외, 동전과 회전판의 32가지 경우를 확률 조건으로 확인하기

앞면과 뒷면이 같은 확률로 나오는 동전 1개와 1부터 16까지의 수가 같은 확률로 나오는 회전판을 서로 독립으로 시행할 때, 전체 경우의 수는 32가지입니다. 이 문제에서 중요한 점은 2×16=32라는 계산만 기억하는 것이 아닙니다. 동전의 두 결과가 왜 같은 무게를 가지는지, 회전판의 16개 결과가 왜 동등하게 셀 수 있는지, 또 두 시행을 함께 묶어도 되는 이유가 무엇인지 확인해야 이후 ‘특정 결과가 함께 나올 확률’ 문제까지 안정적으로 연결됩니다.

32라는 답을 만드는 순서쌍의 의미

기본 문제의 결과는 동전 결과와 회전판 결과를 한 쌍으로 적어 볼 수 있습니다. 예를 들어 (앞면, 1), (앞면, 2), …, (앞면, 16)이 먼저 16가지이고, (뒷면, 1), (뒷면, 2), …, (뒷면, 16)도 16가지입니다. 따라서 16+16=32가지이며, 곱셈으로는 2×16=32가지라고 쓸 수 있습니다. 나무그림에서는 첫 갈래를 앞면·뒷면 2개로 그리고, 각 갈래에서 1부터 16까지 16개로 다시 나누면 같은 구조가 드러납니다. 행구동중등수학과외에서는 답을 가린 뒤에도 이 그림이나 순서쌍을 통해 32가지를 다시 복원할 수 있는지 살핍니다.

여기서 “동전의 두 면은 같은 확률로 나오나요?”라는 질문은 결과의 개수를 다시 묻는 말이 아닙니다. 문제에서 앞면과 뒷면의 확률이 같다고 주었으므로, 앞면으로 시작하는 16가지와 뒷면으로 시작하는 16가지를 동등한 전체 경우로 셀 수 있다는 뜻입니다. 회전판도 1부터 16까지가 같은 확률로 나온다는 조건이 있으므로 각 숫자 결과를 한 가지씩 셉니다. 단지 동전에는 두 면이 있고 회전판에는 16개의 숫자가 보인다는 모양만으로 같은 확률을 판단하는 것이 아니라, 문제에 제시된 확률 조건을 근거로 삼는 습관이 필요합니다.

독립 조건을 확률식으로 연결하는 방법

비교 문제는 ‘앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률’을 묻습니다. 기본 문제에서 전체 경우 32가지를 확인했다면, 그중 조건에 맞는 순서쌍은 (앞면, 1) 한 가지뿐입니다. 따라서 확률은 1/32입니다. 각 순서쌍이 같은 확률로 일어난다는 근거는 동전의 두 면이 같은 확률이고 회전판의 16개 숫자도 같은 확률이며, 두 시행이 서로 독립이라는 세 조건입니다.

독립이라는 말은 회전판에서 어떤 숫자가 나왔는지가 동전의 앞면·뒷면 가능성을 바꾸지 않는다는 의미입니다. 그래서 P(앞면과 1)=P(앞면)×P(1)=1/2×1/16=1/32로 계산할 수 있습니다. 경우의 수로 센 1/32와 곱셈으로 구한 1/32가 일치하는지도 확인합니다. 만약 독립 조건이 없거나 한 결과가 다른 결과의 가능성을 바꾸는 상황이라면 이 곱셈식을 바로 사용할 수 없으므로, 문제 속 조건을 먼저 표시해야 합니다.

맞힌 답을 다음 문제의 판단 근거로 남기기

풀이를 고칠 때는 32나 1/32를 다시 쓰게 하는 데서 멈추지 않습니다. 동전 옆에는 ‘앞면·뒷면 각각 1/2’, 회전판 옆에는 ‘1~16 각각 1/16’, 두 활동 사이에는 ‘서로 독립’이라고 짧게 표시해 봅니다. 이어서 순서쌍 표에서 (앞면, 1)이 32가지 가운데 정확히 한 번만 있는지 체크하면, 유리한 경우 1가지와 전체 경우 32가지가 분명해집니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 나무그림, 순서쌍, 식 가운데 편한 방식으로 같은 근거를 보여 주어도 됩니다.

다음 확인에서는 기본 문제의 32가지를 동전 2가지와 회전판 16가지의 순서쌍으로 설명하고, 비교 문제를 도움 없이 1/32로 구하는 흐름을 봅니다. 특히 “회전판 결과와 동전 결과는 서로 독립인가?”라는 질문에 문제의 조건과 확률식 중 하나를 연결해 답할 수 있는지가 기준입니다. 답만 맞더라도 같은 확률 조건을 빼먹거나 (앞면, 1)을 전체 경우로 착각한다면, 해당 표시와 순서쌍을 다시 확인한 뒤 다음 확률 문제로 나아가는 것이 좋습니다.