행구동 고3수학과외

경계에서 달라지는 여사건의 조건을 끝까지 추적하기

행구동과외 수업에서 다룬 문제는 다음과 같았다.

실수 \(x\)를 무작위로 뽑을 때, \(A=\{x\mid 1\le x<4\}\)라 하자. 전체 구간이 \([0,5]\)일 때 여사건 \(A^c\)를 구하여라.

학생은 곧바로 전체 길이에서 \(A\)의 길이를 빼려 하지 않고, 정의역 \([0,5]\), 양 끝점의 포함 여부, \(1\)과 \(4\)에서 조건이 바뀌는지를 표시했다. 이 첫 행동 자체는 적절했지만, 풀이를 말로 설명하는 과정에서 경계 하나가 빠졌다.

오답은 계산보다 먼저 시작됐다

학생은 일반적인 여사건을 “조건을 만족하지 않는 구간”이라고 정리한 뒤, \(1\le x<4\)의 반대는 \(x<1\) 또는 \(x>4\)라고 적었다. 여기서 \(x=4\)를 누락한 것이 최초 오류였다. 원래 조건에서 \(4\)는 포함되지 않으므로 여사건에는 반드시 포함되어야 한다. 반대로 \(x=1\)은 원래 사건에 포함되므로 여사건에서 빠진다.

즉, 전체 표본공간 안에서만 부정을 취해야 하므로

\(A^c=[0,1)\cup[4,5]\)

가 된다. 학생은 처음에 끝점의 포함 여부를 확인했지만, 그 정보를 부정식에 옮기는 순간 일반적인 형태를 그대로 적용했다. 100분 실전 세트의 중간 판단에서도 비슷하게, 첫 조건과 그 조건에서 파생된 계산을 한 줄에 섞어 적으면서 경계가 사라졌다.

일반 구간과 예외 구간을 분리한 기록

교정은 한 가지 행동으로 제한했다. 학생은 풀이 첫 줄에 원래 조건을 다시 쓰고, 경계값 \(1,4\)를 별도 칸에 적었다. 그다음 일반적인 구간은 \(0\le x<1\), \(4

\(4\notin A\)이므로 \(4\in A^c\)이고, \(1\in A\)이므로 \(1\notin A^c\)라는 판단이 계산보다 먼저 확정됐다. 후보를 줄이는 순서도 ‘전체 범위 확인 → 사건의 끝점 확인 → 여사건에 남는 경계 대입’으로 번호를 붙였다. 별도의 검산법을 늘리지 않고, 경계값을 직접 대입하는 방식만 유지했다.

이후 학생은 여사건의 확률을 구할 때도 구간의 모양을 먼저 확인했다. 전체 구간의 길이는 \(5\), 사건 \(A\)의 길이는 \(3\)이므로 여사건의 길이는 \(2\), 따라서 확률은 \(2/5\)이다. 단순히 \(1-3/5\)라고 끝내지 않고, \([0,1)\)과 \([4,5]\)의 길이를 합쳐 \(1+1=2\)인지 대조했다.

조건을 바꿔도 경계 판단이 남아 있는가

독립 적용에서는 숫자만 바꾸지 않고 문제의 조건을 바꾸었다.

전체 표본공간이 \([-2,6]\)이고 \(B=\{x\mid -2

학생은 이전 문제의 답을 떠올려 옮기지 않고, 먼저 전체 표본공간을 적었다. \(B\)에서 \(-2\)는 제외되어 있으므로 여사건에는 포함되고, \(3\)은 포함되어 있으므로 여사건에는 제외된다고 설명했다. 따라서

\(B^c=\{-2\}\cup(3,6]\)

이다. 여기서 끝점 하나를 삭제했을 때 결론이 어떻게 바뀌는지도 비교했다. 만약 \(B=\{-2\le x\le3\}\)라면 여사건은 \((3,6]\)만 남는다. 조건 하나의 포함 기호가 사건 전체의 구간 표현을 바꾼다는 점을 반례로 확인한 것이다.

학생은 첫 식의 근거를 “여사건은 사건의 부정이면서 전체 표본공간 안에 있어야 하므로, 양 끝점의 포함 여부를 원래 조건에서 역으로 읽는다”라고 한 문장으로 설명했다. 원래 식과 여사건 표현에 \(0\), \(3\)처럼 간단한 값을 대입해 각각 어느 집합에 들어가는지도 확인했다.

큰 수가 등장한 재시험

해설을 가린 재시험에서는 전체 구간이 \([-100,250]\), 사건이 \(-20\le x<180\)으로 제시됐다. 수치가 커졌지만 학생은 계산에 매달리지 않고 먼저 구조를 분류했다. 왼쪽 경계 \(-20\)은 사건에 포함되므로 여사건에서 제외하고, 오른쪽 경계 \(180\)은 사건에 빠져 있으므로 여사건에 포함시켰다.

그 결과 여사건을 \([-100,-20)\cup[180,250]\)으로 기록한 뒤, 두 구간이 원래 표본공간을 벗어나지 않는지 확인했다. 마지막으로 경계값 \(-20\)과 \(180\)을 직접 대입해 포함 관계를 재확인했다. 행구동고3수학과외 학습 기록에서도 드러난 변화는 정답 자체보다, 조건을 읽은 뒤 경계값을 따로 보존하는 판단이 새로운 여사건 문제에서도 자동으로 나온다는 점이었다.

전체 표본공간을 먼저 제한하고, 사건의 경계를 표시한 다음, 여사건에 남는 끝점을 원래 조건에 대입한다. 마지막 재시험에서 이 행동이 힌트 없이 유지되면서, 일반 규칙을 경계에 무심코 적용하던 최초 오류가 실제로 교정되었음을 확인했다.