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행구동 고2수학과외

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그래프의 양끝에서 시작하는 무한대 극한

행구동과외 수업에서 한 학생은 그래프 가운데를 지나던 y=1을 수평점근선이라고 판단했다. 하지만 수평점근선은 그래프의 중간 높이가 아니라, x가 매우 커지거나 작아질 때 양끝이 가까워지는 높이로 결정한다.

좌우 끝의 접근값 읽기

다음 함수의 그래프를 생각해 보자.

f(x)= \begin{cases} 2+\frac{1}{x}, & x>0\\ -1+\frac{1}{x}, & x<0 \end{cases}

x가 양의 무한대로 커지면 1/x는 0에 가까워지므로 f(x)는 2에 가까워진다. 반대로 x가 음의 무한대로 작아지면 f(x)는 -1에 가까워진다.

  • \lim_{x\to+\infty}f(x)=2
  • \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1

수평점근선과 지나가는 점 구별하기

따라서 오른쪽 수평점근선은 y=2, 왼쪽 수평점근선은 y=-1이다. 그래프가 중간에 y=1을 지나거나 특정 구간에서 그 높이에 머문다고 해서 y=1이 점근선이 되는 것은 아니다.

점근선은 그래프가 반드시 만나지 않는 선이라는 뜻도 아니다. 중요한 기준은 해당 방향으로 갈 때 함수값이 그 선의 높이에 가까워지는지 여부다.

교정된 풀이와 새 판단 기준

두 풀이 비교

풀이판단결과
교정 전그래프 중간에서 눈에 띄는 y값을 선택수평점근선 판단 오류
교정 후x→+∞, x→-∞에서 각각 접근하는 높이를 확인y=2, y=-1

새 그래프를 만나면 먼저 양끝을 따로 본다. 오른쪽 끝의 높이는 x\to+\infty, 왼쪽 끝의 높이는 x\to-\infty와 연결한다. 두 값이 같을 수도 있고, 이 예처럼 다를 수도 있다.

최종 확인

“무한대에서 함수값이 어디에 가까워지는가?”라고 질문했을 때 방향을 나누어 답할 수 있다면 점근선 해석이 제대로 된 것이다. 그래프의 한 점이나 중간 구간의 높이를 근거로 점근선을 정하지 않도록 한다.

행구동 고2수학과외 학부모 후기

숙제를 끝내고 자료를 챙기려던 아이가 문제를 바로 덮지 않더라고요. 마지막 계산 결과를 처음 풀었던 방식과는 다른 방법으로 다시 확인한 뒤에야 다음 자료로 넘어갔어요. 예예전에는 궁금한 점이 생겨도 따로 적어 두는 일이 없어서, 나중에 무엇을 물어보려 했는지도 놓치기 쉬웠거든요. 행구동 수학과외를 찾아보던 때와 비교해 특별히 느낀 건, 답만 보고 지나가지 않고 자기 계산을 한 번 더 들여다보는 모습이 생겼다는 점이에요. 학교 자습 시간에 다른 문제를 읽을 때도 처음과 다른 방법으로 마지막 결과를 확인하고 있었습니다. 자료를 정리할 때는 전부 펼쳐 두지 않고 필요한 부분만 남겨 두었고요. 그날 책상 위에는 확인한 계산 흔적과 필요한 자료만 남아 있더라고요.

★★★★★학부모 후기

주말에 시험 범위를 다시 펼쳐 놓은 아이가 문제를 다 푼 뒤 잠시 페이지를 살펴보더라고요. 그냥 넘어가는 줄 알았는데, 끝에 다시 확인할 문제 번호만 골라서 한쪽에 적어 두고 필요한 부분만 체크했어요. 행구동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 모습이 보일 줄은 몰랐습니다. 단원평가를 본 날에는 시험지 귀퉁이에 검산할 번호가 따로 모여 있더라고요. 예예전에는 다 풀고 나면 제대로 확인하지 못한 문제까지 그냥 접어 두는 편이었거든요. 이번에는 무엇을 다시 볼지 먼저 가려 놓은 뒤, 표시한 번호를 따라 계산을 다시 살펴보고 있었습니다. трев.

★★★★☆학부모 후기

예예전에는 문제를 풀고 나면 다음에 어디를 봐야 할지 표시를 안 해둬서, 다시 펼칠 때마다 처음부터 전체를 훑곤 했어요. 그런데 이번에는 숫자 일부를 가려 놓고도 같은 판단으로 풀 수 있는지 확인하더라고요. 답만 맞히는지 보는 게 아니라, 숫자가 없어도 풀이 방향을 떠올릴 수 있는지를 스스로 살피는 모습이었어요. 행구동 수학과외 이야기를 나누던 중 새 노트로 바꾼 날에도 비슷한 장면을 봤습니다. 노트에 옮겨 적은 문제의 숫자를 손으로 가린 채 다시 계산해 보고, 바로 이어서 풀리지 않은 부분에는 작은 표시를 남겼어요. 예전처럼 나중에 찾기 어렵게 넘기지 않고, 막힌 지점을 따로 남겨둔 게 눈에 띄었습니다. 다음 주 학교 숙제를 끝낸 뒤에도 숫자 몇 개를 가린 상태로 같은 판단을 다시 점검했어요. 이번에는 확인하지 못한 부분을 한쪽에 따로 적어 두고, 그 자리부터 다시 살펴보고 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

행구동에서 수학과외를 시작한 뒤, 시험 일주일 전 주말에도 아이가 숙제를 미루지 않고 틀린 문제부터 다시 펼치는 모습이 기억에 남았습니다. 예전에는 이해했냐는 질문에 곧바로 그렇다고 했지만, 선생님은 반응을 살피며 같은 내용을 다른 말로 설명하고 무리하게 진도를 나가지 않으셨습니다. 아직 성적보다 숙제를 시작하는 시간이 짧아지고 모르는 것을 편하게 말하는 변화가 먼저 보여 좋게 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기

행구동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 숙제를 미루는 시간이 조금씩 줄었습니다. 컨디션이 좋지 않은 시험기간에는 문제 수를 조절하고 핵심만 짚어 주셔서, 풀이를 지우지 않고 틀린 이유를 다시 살피는 모습이 눈에 띄었습니다. 모르는 부분을 선생님께 다시 설명해 달라고 말하는 것도 한결 편해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

시험이 끝난 주말, 저는 수업에서 물어볼 내용을 미리 적어 두고 행구동 집에서 숙제를 먼저 펼쳤습니다. 예전에는 틀린 문제를 다시 보기 싫어 수학 숙제를 자꾸 미뤘지만, 선생님은 풀이를 처음부터 다시 하게 하기보다 어디서 생각이 어긋났는지 찾아 주셔서 설명을 다시 부탁하기도 편했습니다. 요즘은 수업이 끝나면 배운 내용을 부모님께 먼저 이야기하고, 숙제도 예전처럼 피하지 않게 됐습니다.

★★★★★학부모 후기