행구동 고2수학과외







그래프의 양끝에서 시작하는 무한대 극한
행구동과외 수업에서 한 학생은 그래프 가운데를 지나던 y=1을 수평점근선이라고 판단했다. 하지만 수평점근선은 그래프의 중간 높이가 아니라, x가 매우 커지거나 작아질 때 양끝이 가까워지는 높이로 결정한다.
좌우 끝의 접근값 읽기
다음 함수의 그래프를 생각해 보자.
x가 양의 무한대로 커지면 1/x는 0에 가까워지므로 f(x)는 2에 가까워진다. 반대로 x가 음의 무한대로 작아지면 f(x)는 -1에 가까워진다.
수평점근선과 지나가는 점 구별하기
따라서 오른쪽 수평점근선은 y=2, 왼쪽 수평점근선은 y=-1이다. 그래프가 중간에 y=1을 지나거나 특정 구간에서 그 높이에 머문다고 해서 y=1이 점근선이 되는 것은 아니다.
점근선은 그래프가 반드시 만나지 않는 선이라는 뜻도 아니다. 중요한 기준은 해당 방향으로 갈 때 함수값이 그 선의 높이에 가까워지는지 여부다.
교정된 풀이와 새 판단 기준
두 풀이 비교
| 풀이 | 판단 | 결과 |
|---|---|---|
| 교정 전 | 그래프 중간에서 눈에 띄는 y값을 선택 | 수평점근선 판단 오류 |
| 교정 후 | x→+∞, x→-∞에서 각각 접근하는 높이를 확인 | y=2, y=-1 |
새 그래프를 만나면 먼저 양끝을 따로 본다. 오른쪽 끝의 높이는 , 왼쪽 끝의 높이는 와 연결한다. 두 값이 같을 수도 있고, 이 예처럼 다를 수도 있다.
최종 확인
“무한대에서 함수값이 어디에 가까워지는가?”라고 질문했을 때 방향을 나누어 답할 수 있다면 점근선 해석이 제대로 된 것이다. 그래프의 한 점이나 중간 구간의 높이를 근거로 점근선을 정하지 않도록 한다.