단계지구 중등수학과외

단계지구중등수학과외, 이등변삼각형 66°의 밑각 57°를 조건으로 설명하는 확인

이등변삼각형 ABC에서 AB=AC이고 ∠A=66°일 때 나머지 두 각을 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 답은 ∠B=57°, ∠C=57°입니다. 다만 이 문제는 180°에서 66°를 뺀 뒤 2로 나누는 계산만 맞았는지 확인하는 데서 끝나지 않습니다. AB와 AC의 길이가 같다는 조건이 왜 두 밑각의 크기를 같게 하는지, 그리고 그림이 이등변삼각형처럼 보인다는 이유만으로 결론을 정할 수 없는지를 함께 살펴보아야 합니다.

AB=AC가 밑각의 같음을 보장하는 이유

먼저 조건·근거·결론을 나누어 적습니다. 조건은 AB=AC, 즉 꼭짓점 A에서 B와 C로 이어지는 두 변의 길이가 같다는 것입니다. 이 조건에 따라 삼각형 ABC는 이등변삼각형이고, 같은 길이의 두 변에 마주 보는 각은 서로 같습니다. 따라서 AB의 맞은편 각인 ∠C와 AC의 맞은편 각인 ∠B가 같으므로 ∠B=∠C라고 쓸 수 있습니다. 여기서 ‘밑각이 같으니까’라고만 쓰면 근거가 생략됩니다. ‘AB=AC이므로 이등변삼각형의 밑각은 같아 ∠B=∠C’처럼 주어진 길이 조건과 성질을 연결해야 합니다. 그림에서 두 변의 길이가 비슷해 보이는 것은 증명 근거가 아니며, 표시된 등호 조건이 판단의 출발점입니다.

남은 두 각의 합 114°를 반으로 나누고 검산하기

삼각형의 내각의 합은 180°이므로 ∠B+∠C=180°−66°=114°입니다. 앞에서 ∠B=∠C임을 확인했으므로 두 각을 각각 x°라고 두면 x+x=114, 2x=114가 됩니다. 따라서 x=57이고, ∠B=57°, ∠C=57°입니다. 계산의 순서는 ‘남은 각의 합 114°를 구한 뒤, 같다는 근거가 있는 두 각에 똑같이 나눈다’입니다. 검산도 원래 관계에 맞게 할 수 있습니다. 66°+57°+57°=180°이므로 세 내각의 합이 맞고, 두 밑각도 동일하게 57°입니다. 정답을 가린 뒤에는 “두 각을 2로 나눈 이유는 무엇인가요?”라고 짧게 확인하여, 114°라는 수만 말하는지 아니면 AB=AC 조건까지 짚는지 살펴볼 수 있습니다.

등변 조건을 지운 비교 그림에서 달라지는 판단

비교 문제에서는 ‘이등변삼각형’이라는 설명과 AB=AC 표시, 두 변이 같음을 나타내는 눈금을 모두 없앱니다. 꼭짓점 이름과 ∠A의 크기만 주어지고, 그림의 모양은 길이나 각의 같음을 보장하지 않는다고 가정합니다.

이제 AB=AC라는 조건만 삭제하고 그림은 그대로 둔다고 해 보겠습니다. ∠A가 66°라는 정보가 남아 있다면 다른 두 각의 합이 114°라는 사실까지는 알 수 있습니다. 그러나 ∠B=∠C라는 근거가 사라졌으므로 각각이 57°라고 확정할 수는 없습니다. 예를 들어 두 각의 합이 114°인 여러 조합이 가능하므로, 그림의 모양만 보고 반씩 나누어서는 안 됩니다. 이 비교에서는 기본 문제와 달리 ‘같은 두 변’이라는 조건이 없다는 점이 핵심입니다. 며칠 뒤 기본 문제에서는 AB=AC → ∠B=∠C → 각 57°의 연결을 스스로 적게 하고, 비교 그림에서는 “남은 각의 합은 알지만 밑각이 같다는 결론은 확정할 수 없다”라고 근거를 붙여 보게 하면 됩니다. 말이 길지 않아도 조건에 밑줄을 긋거나 화살표로 연결해 같은 판단을 보여 준다면, 다음 확인에서는 그 표시와 계산식이 서로 맞는지 살펴볼 수 있습니다.