단계지구 고3수학과외

표와 식이 달라질 때 조건부확률의 기준 세우기

한쪽에는 사건별 인원이 표로 정리되어 있었고, 다른 쪽에는 “검사 결과가 양성일 때 실제로 특정 집단일 확률”이라는 문장이 적혀 있었다. 학생은 두 자료가 같은 정보를 나타낸다는 점은 알아차렸지만, 표현이 바뀌자 앞에서 풀었던 문제의 순서를 그대로 따라갔다.

처음 노트에는 표에서 전체 인원을 찾고 교집합을 계산한 뒤 조건을 붙이는 흐름이 남아 있었다. 그러나 이번 질문은 이미 ‘양성인 사람 중 특정 집단’으로 표본공간을 제한하고 있었다. 학생은 분모를 전체 인원으로 두고, 분자를 특정 집단의 양성 인원으로 잡았다. 계산 자체보다 먼저 틀어진 지점은 숫자를 대입한 일이 아니라, 조건이 어느 사건에 붙었는지 확인하지 않고 이전 풀이 구조를 복사한 행동이었다.

표의 숫자를 사건의 문장으로 번역하다

교정할 때 여러 공식을 다시 외우게 하지 않았다. 표의 두 사건을 각각 A: 특정 집단, B: 양성 판정으로 적고, 질문 문장에 등장한 “B인 사람 중 A”를 그대로 기호로 옮기게 했다. 그러면 구해야 할 값은 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)가 된다. 여기서 분모는 전체 표본이 아니라 B가 일어난 경우만 남긴 표본공간이다.

학생은 표 옆에 다음처럼 한 줄을 추가했다.

질문에서 먼저 제한한 사건이 분모가 되고, 두 조건을 동시에 만족하는 부분이 분자가 된다.

그다음 식과 표를 나란히 놓았다. 표에서는 B 열의 합을 먼저 찾고, 그 열 안에서 A와 겹치는 칸을 골랐다. 식에서는 교집합을 P(A∩B)로 표시하고 조건 B를 분모에 두었다. 표현은 달라도 ‘B 안에서 A를 찾는다’는 관계가 공통으로 남는지 확인한 것이다. 이 기준을 세우자 표의 행과 열이 뒤집혀도 계산 순서를 기계적으로 복사하지 않게 되었다.

자료 형식을 바꾼 변형에서 다시 세운 관계

독립 적용에서는 표를 주지 않고 다음과 같은 자료를 제시했다. 전체 학생 중 특정 집단 A에 속할 확률은 0.4, 양성 판정 B의 확률은 0.3, 두 사건이 동시에 일어날 확률은 0.12라고 하자. 질문은 “양성 판정을 받은 학생이 특정 집단일 확률”이었다. 학생은 0.12를 0.4로 나누려다가 멈추고, 질문의 조건이 B라는 사실을 문장 밑줄로 다시 표시했다. 따라서 계산은

P(A|B)=0.12÷0.3=0.4

가 된다. 이는 앞의 표에서 B에 해당하는 칸들만 남겨 비율을 구한 것과 같은 구조다.

변형 문제에서는 조건의 위치를 바꾸어 “특정 집단인 학생이 양성 판정을 받을 확률”을 물었다. 이번에는 P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.12÷0.4=0.3으로 분모가 달라졌다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 질문의 방향을 뒤집었기 때문에, 학생이 관계를 외운 것인지 조건의 영향을 읽은 것인지 확인할 수 있었다. 학생은 두 식의 분모에 각각 ‘조건으로 제한된 사건’을 말로 적어 두었다.

힌트 없는 기출에서 남은 판단

며칠 뒤에는 표 대신 네 개의 원이 겹친 그림과 짧은 서술이 제시된 문제를 풀었다. 학생은 곧바로 계산하지 않고, 질문의 뒷부분에 해당하는 사건을 먼저 표시했다. 이어 그 사건의 영역만 새로운 표본공간으로 남기고, 그 안에서 다른 사건과 겹치는 부분을 분자로 선택했다. 그림에 표시되지 않은 전체 인원은 분모 후보에서 제외했다.

마지막 검산에서도 전체 식을 다시 계산하지 않았다. 대신 첫 식의 분모가 조건 사건의 확률인지, 분자가 두 사건의 교집합인지 한 줄만 확인했다. 또 조건부확률은 항상 0과 1 사이여야 하므로 계산값 0.4가 범위를 벗어나지 않는지도 살폈다. 표, 식, 그림의 제시 순서가 바뀌었지만 학생은 공통 관계를 먼저 찾은 뒤 표현을 바꾸어 적었다.

이번 학생의 노트에는 최종적으로 “표현이 바뀌어도 조건 사건부터 표본공간으로 만든다”라는 문장이 남았고, 새로운 자료에서 그 문장을 스스로 첫 행동으로 꺼내 들었다.