단계지구 중2수학과외

두 자리 수의 관계를 연립방정식으로 옮기는 과정

섬강중학교, 버들중학교, 반곡중학교 등이 포함된 생활권의 문제집에는 숫자 자체보다 문장을 식으로 바꾸는 문항이 자주 등장했다. 이 학생은 두 자리 수의 각 자리 숫자 사이 관계를 읽고 연립방정식으로 나타내는 과정에서 식의 대응을 점검하는 연습을 했다.

첫 식을 세우는 순간 드러난 선택

문제에는 “십의 자리 숫자는 일의 자리 숫자보다 2 크고, 두 자리 수는 각 자리 숫자의 합의 7배보다 3 크다”는 조건이 제시되어 있었다. 학생은 십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y로 정한 뒤, 공책 왼쪽에 x=y+2라고 적었다. 이어 두 자리 수를 10x+y로 표시하고, 숫자의 합을 x+y로 표시하여 10x+y=7(x+y)+3을 만들었다.

여기까지는 두 문장의 주어와 수의 자릿값을 구분해 기록한 상태였다. 학생은 첫 번째 식을 대입용으로 동그라미 치고, 두 번째 식은 그대로 남겨 두었다. 그런데 다른 문장으로 바꾸어 제시된 다음 문제에서 손이 멈췄다. “일의 자리 숫자는 십의 자리 숫자보다 3 작고, 두 자리 수에서 숫자의 합의 6배를 뺀 값은 4이다”라는 표현을 읽은 뒤, 학생은 첫 관계를 y=x-3으로 바꾸었다.

문제는 두 번째 식을 옮길 때 나타났다. 학생은 두 자리 수 부분을 10x+y로 바르게 적었지만, 숫자의 합에서 y를 빠뜨려 10x+y-6x=4로 적었다. 계산을 진행하기 전, 두 식의 항을 서로 비교하면서 오류가 어디서 시작되었는지 되짚었다.

“결과가 이상해서가 아니라, ‘숫자의 합’이라는 말을 식으로 옮기는 순간 y를 빼먹었어. 두 자리 수와 숫자의 합은 서로 다른 표현이지만, 두 자리 숫자 x와 y를 모두 포함해야 해.”

빠진 항 하나만 되돌려 식의 관계를 복원하다

교정은 계산법을 바꾸는 방식으로 진행하지 않았다. 대입법을 선택했던 과정은 그대로 두고, 문장 속 양을 다시 대응시켰다. 학생은 종이에 세 줄을 만들었다. “두 자리 수 → 10x+y”, “숫자의 합 → x+y”, “숫자의 합의 6배 → 6(x+y)”라고 적었다. 그런 다음 원래 식을 10x+y-6(x+y)=4로 고쳤다.

괄호를 풀어 10x+y-6x-6y=4, 즉 4x-5y=4가 됨을 확인했다. 첫 번째 관계식 y=x-3을 대입할 때도 y가 들어간 자리를 한꺼번에 바꾸지 않고, 4x-5(x-3)=4로 한 줄씩 적었다. 계산 결과를 얻은 뒤에는 x와 y를 원래 두 식에 각각 넣었다. 두 자리 수를 만드는 식과 숫자의 합을 이용한 식이 모두 성립하는지 따로 확인했으며, 한 식만 맞는 답은 남기지 않았다.

표현이 바뀐 문제에서 관계를 다시 세우기

다음 활동은 숫자만 바꾼 문제가 아니었다. 이번에는 두 자리 수를 직접 묻지 않고, “십의 자리와 일의 자리를 각각 a, b라 할 때, 수와 자리 숫자 합의 관계가 표와 같이 주어졌다”는 형태로 제시했다. 표에는 수의 값이 10a+b로 표시되고, 비교량은 a+b로 표시되어 있었다. 또 조건은 10a+b=5(a+b)-2와 a-b=4처럼 계수와 부호가 섞여 있었다.

학생은 먼저 표의 각 열에 ‘자리값’과 ‘숫자 자체’를 구분해 표시했다. 이어 두 번째 관계를 b=a-4로 정리하고, 첫 번째 식에 대입했다. 이때 예전처럼 한쪽 항만 바꾸지 않기 위해 “a+b 전체가 5배”라는 부분에 괄호를 남겨 두었다. 계산 후 나온 a와 b를 표의 두 표현에 다시 넣고, 자리 숫자가 실제로 한 자리 정수인지도 확인했다.

마지막 변형에서는 계수가 정수가 아니라 0.5a+0.5b로 나타났다. 학생은 이를 보자마자 숫자를 외워 적용하지 않고, 양변에 2를 곱해 a+b라는 공통 관계를 먼저 만들었다. 분수나 소수 계수가 등장해도 ‘숫자의 합’이라는 뜻이 달라지는 것은 아니라는 점을 식의 형태로 확인한 것이다.

힌트 없이 다시 확인한 최종 풀이

수업 끝에는 새로운 문장이 제시되었다. “두 자리 수의 십의 자리 숫자는 일의 자리 숫자보다 5 크며, 그 수에서 숫자 합의 4배를 뺀 값은 12이다.” 학생은 도움을 기다리지 않고 십의 자리와 일의 자리 숫자를 각각 x, y로 정했다. 곧바로 x=y+5, 10x+y-4(x+y)=12를 적었다.

학생은 두 번째 식에서 10x+y가 수를, x+y가 자리 숫자의 합을 뜻한다고 설명했다. 따라서 4가 합 전체에 곱해져야 하며, 한 항만 바꾸면 원래 문장과 동치가 아니라고 말했다. 식을 정리하고 대입한 뒤에는 구한 값을 첫 번째 관계와 두 번째 관계에 각각 넣어 확인했다. 마지막으로 만들어진 두 자리 수에서도 십의 자리와 일의 자리의 차이가 5인지 직접 살폈다.

단계지구에서 방문 수업을 희망한다면 실제 수업 장소와 학교·학원 이동 시간을 함께 알려 주세요. 가능한 요일과 시작 시간을 학생의 일정에 맞춰 상담에서 확인합니다.