풍남동 고2수학과외







등비수열의 합은 공비의 크기부터 비교한다
등비수열의 합에서 자주 생기는 오답은 계산 실수보다 공비의 절댓값에 따른 합의 변화를 잘못 판단하는 데서 시작한다. 풍남동과외 수업에서는 먼저 공비가 1보다 큰지, 0과 1 사이인지 확인한 뒤 항의 개수와 합의 크기를 따로 살핀다.
하나의 식에서 출발하기
첫째항이 1이고 항의 개수가 4개인 등비수열을 생각하자.
q=2이면
1+2+4+8=15
q=1/2이면
1+1/2+1/4+1/8=15/8
두 수열 모두 항의 개수는 4개이고 첫째항도 같지만, 공비가 2인 경우의 합이 더 크다. 공비가 1보다 크면 항이 점점 커지고, 0과 1 사이이면 항이 점점 작아진다.
항 개수와 공비를 분리해서 보기
| 공비 조건 | 항의 변화 | n항까지의 합 |
|---|---|---|
| q>1 | 항이 증가 | 공비가 커질수록 대체로 증가 |
| 0<q<1 | 항이 감소 | 공비가 커질수록 합은 증가 |
| q=1 | 모든 항이 같음 | 첫째항×항의 개수 |
같은 항수에서 합 비교하기
첫째항이 양수이고 항의 개수가 같은 두 등비수열이라면, 합은
Sn=a(1-qn)/(1-q) (q≠1)
로 계산한다. 예를 들어 첫째항이 3이고 5항까지의 합을 비교하면
q=1/2일 때 S5=3(1-(1/2)5)/(1-1/2)=93/16
q=2일 때 S5=3(1-25)/(1-2)=93
이다. 따라서 “항이 작아지는 수열이므로 합도 반드시 작다”라고만 판단하면 안 된다. 비교 대상의 첫째항, 항의 개수, 공비를 각각 확인해야 한다.
무한합에서는 조건이 달라진다
무한등비급수의 합은 |q|<1일 때만 수렴하며, 첫째항이 a일 때
S=a/(1-q)
이다. 따라서 q=1/2이면 무한합이 존재하지만, q=2이면 항이 커지므로 무한합은 수렴하지 않는다. 유한합의 비교와 무한합의 존재 조건을 같은 방식으로 처리해서는 안 된다.
최종 판단 기준
문제를 풀 때는 ① 항의 개수 확인, ② 첫째항 확인, ③ 공비가 1보다 큰지 또는 0과 1 사이인지 판별, ④ 유한합인지 무한합인지 구분하는 순서가 안전하다.
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단원을 끝낼 때 모든 문제를 완벽히 마무리하려다 진도가 멈출 수 있습니다. 해결한 기본 내용과 아직 설명이 필요한 응용 내용을 구분해 질문 목록을 남겨 보세요. 다음 단원에서 바로 사용되는 개념이라면 우선 확인하도록 수업에서 순서를 상의할 수 있습니다.
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다음 학기의 내용을 시작하려면 실제 학교의 과목 편성과 현재 단원의 미해결 부분을 먼저 확인해 보세요. 학년 이름만으로 다음에 배울 범위를 정하지 않는 것이 좋습니다. 현재 배우는 내용을 유지할 시간이 남는지 함께 보고 준비 범위를 상의할 수 있습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
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| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
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