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풍남동 고2수학과외

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등비수열의 합은 공비의 크기부터 비교한다

등비수열의 합에서 자주 생기는 오답은 계산 실수보다 공비의 절댓값에 따른 합의 변화를 잘못 판단하는 데서 시작한다. 풍남동과외 수업에서는 먼저 공비가 1보다 큰지, 0과 1 사이인지 확인한 뒤 항의 개수와 합의 크기를 따로 살핀다.

하나의 식에서 출발하기

첫째항이 1이고 항의 개수가 4개인 등비수열을 생각하자.

q=2이면

1+2+4+8=15

q=1/2이면

1+1/2+1/4+1/8=15/8

두 수열 모두 항의 개수는 4개이고 첫째항도 같지만, 공비가 2인 경우의 합이 더 크다. 공비가 1보다 크면 항이 점점 커지고, 0과 1 사이이면 항이 점점 작아진다.

항 개수와 공비를 분리해서 보기

공비 조건항의 변화n항까지의 합
q>1항이 증가공비가 커질수록 대체로 증가
0<q<1항이 감소공비가 커질수록 합은 증가
q=1모든 항이 같음첫째항×항의 개수

같은 항수에서 합 비교하기

첫째항이 양수이고 항의 개수가 같은 두 등비수열이라면, 합은

Sn=a(1-qn)/(1-q) (q≠1)

로 계산한다. 예를 들어 첫째항이 3이고 5항까지의 합을 비교하면

q=1/2일 때 S5=3(1-(1/2)5)/(1-1/2)=93/16

q=2일 때 S5=3(1-25)/(1-2)=93

이다. 따라서 “항이 작아지는 수열이므로 합도 반드시 작다”라고만 판단하면 안 된다. 비교 대상의 첫째항, 항의 개수, 공비를 각각 확인해야 한다.

무한합에서는 조건이 달라진다

무한등비급수의 합은 |q|<1일 때만 수렴하며, 첫째항이 a일 때

S=a/(1-q)

이다. 따라서 q=1/2이면 무한합이 존재하지만, q=2이면 항이 커지므로 무한합은 수렴하지 않는다. 유한합의 비교와 무한합의 존재 조건을 같은 방식으로 처리해서는 안 된다.

최종 판단 기준

문제를 풀 때는 ① 항의 개수 확인, ② 첫째항 확인, ③ 공비가 1보다 큰지 또는 0과 1 사이인지 판별, ④ 유한합인지 무한합인지 구분하는 순서가 안전하다.

다음 단원으로 넘어가기 전 남길 질문

단원을 끝낼 때 모든 문제를 완벽히 마무리하려다 진도가 멈출 수 있습니다. 해결한 기본 내용과 아직 설명이 필요한 응용 내용을 구분해 질문 목록을 남겨 보세요. 다음 단원에서 바로 사용되는 개념이라면 우선 확인하도록 수업에서 순서를 상의할 수 있습니다.

다음 학기 학습을 앞당기기 전에

다음 학기의 내용을 시작하려면 실제 학교의 과목 편성과 현재 단원의 미해결 부분을 먼저 확인해 보세요. 학년 이름만으로 다음에 배울 범위를 정하지 않는 것이 좋습니다. 현재 배우는 내용을 유지할 시간이 남는지 함께 보고 준비 범위를 상의할 수 있습니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

고2 점검 기준

실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.

수업 진행 예시

선택 과목: 변화율의 의미

미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.

선택 과목: 확률의 조건

확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급방문 수업화상 수업
고등33~50만 원30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

학년별 개념과 연습 함께 보기

이 지역의 학습 예시와 함께 현재 학년의 공부 방법을 살펴보세요.

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풍남동 고2수학과외 수업 후기

계산 숙제를 펼쳐 놓고 한참을 들여다보더니, 아이가 종이에 작은 표부터 만들었어요. 가능한 경우를 하나씩 나눠 적은 뒤 겹치는 경우는 직접 지워 가며 확인하더라고요. 전에는 오답을 다시 볼 때도 틀린 부분 한 군데만 살피고 지나가는 일이 많았거든요. 이번에는 답을 바로 찾기보다 경우를 나누는 데 먼저 시간을 쓰고 있었습니다. 방학 숙제를 하던 오전에 확률 문제를 풀 때도 같은 장면을 본 적이 있어요. 별다른 말을 하지 않고 표를 그려 경우를 구분하길래 잠깐 지켜봤습니다. 풍남동 수학과외를 알아보며 여러 교재를 살펴보던 때와는 별개의 일상적인 숙제였는데, 이번 계산에서는 앞에서 확인한 부분 옆에 조그맣게 표시만 남겨 두었어요. 표 안에서 겹치는 경우를 지운 흔적이 문제마다 조금씩 달랐습니다.

★★★★☆수업 후기

새 문제집을 펼치자마자 첫 문제를 푼 뒤, 아이가 풀이를 하나로 끝내지 않고 다른 방법으로도 적어 보더라고요. 다 풀고 나서는 확인한 부분과 다시 살펴볼 부분을 나눠 두었고요. 맞힌 문제라 그냥 넘어갈 줄 알았는데 의외였어요. 얼마 전 가방에서 시험지를 꺼내 정리하던 때에도 비슷한 장면을 봤습니다. 어수선한 책상 위에서 아이가 맞은 문제를 다시 가져와 풀이를 짧게 만들 수 있는지 살펴보고 있었어요. 예전에는 답만 맞으면 중간 계산은 거의 들여다보지 않았거든요. 풍남동 수학과외를 찾아보며 기대했던 것도 이런 식으로 문제를 다시 보는 모습이었는데, 이번엔 풀이의 길이와 방법까지 비교하고 있었습니다.

★★★★★수업 후기

주말 오전, 풍남동에서 수학 숙제를 시작하는 아이를 지켜보니 예전처럼 한참 망설이지 않고 먼저 지난 수업 내용을 펼쳤습니다. 실수하는 모습을 보이기 싫어 계획 세우기를 피하던 아이에게 선생님은 반응을 살피며 같은 내용도 편한 말로 다시 설명하고, 부담 없는 분량으로 복습을 이어가게 했습니다. 시험 일주일 전에도 무리하게 몰아붙이기보다 아이가 지킬 수 있는 계획을 함께 조절해 주셔서, 숙제 시작이 조금씩 자연스러워지는 모습이 가장 반가웠습니다.

★★★★★수업 후기

풍남동에서 수학과외를 시작한 뒤 오답을 따로 모아본 날, 아이가 틀린 문제를 표시만 해두고 다시 보지 않았다는 걸 알게 됐습니다. 수행평가와 시험공부가 겹친 주간에도 선생님은 다그치기보다 편하게 대화하며 숙제 상황을 살피고, 수업 끝에는 그날 복습할 내용을 몇 가지로 줄여 정리해주셨습니다. 한 문제에 막혀도 수학 공부를 통째로 포기하지 않고 스스로 이어가려는 모습이 보여 작은 변화지만 무척 반가웠습니다.

★★★★☆수업 후기

선생님은 컨디션이 좋지 않은 날 문제 수를 줄여 핵심만 확인하고, 그날 할 일과 다음에 복습할 내용을 나누어 부담을 덜어 주셨습니다. 풍남동에서 수학과외를 시작한 뒤에도 아이는 숙제를 미루고, 수업에서 푼 문제를 집에서 다시 보는 일이 드물었습니다. 요즘은 풀이를 지우지 않고 다시 살펴보며 모르는 부분을 선생님께 설명해 달라고 먼저 말하는 모습이 보여 부모로서 반가웠습니다.

★★★★★수업 후기

학생별 1:1 수업 안내

수업은 학생별 1:1로 진행하며, 현재 학습 상태와 목표에 따라 수업 내용을 달리합니다.