풍남동 고1수학과외
풍남동 고1수학과외, 일대일대응을 정의역까지 확인한 사례
문제는 두 집합 사이의 대응이 일대일대응인지 판단하는 내용이었다. 학생은 식의 계수와 계산 결과를 빠르게 정리했지만, 대응식에 포함된 조건을 하나 빠뜨리면서 정의되지 않는 값을 정의역에 넣었다. 최종 답만 보면 자연스러워 보여 오류가 바로 드러나지 않았다.
계산보다 먼저 대응의 범위를 확인하다
삼천개나리아파트 인근 수업에서 학생은 식의 계수를 합친 뒤 곧바로 일대일대응 여부를 판단하려 했다. 교사는 계산을 되풀이하게 하기보다, 대응식이 실제로 허용되는 입력값을 한 줄로 표시하게 했다. 분모가 0이 되는 값처럼 식이 정의되지 않는 항목을 먼저 제외하자, 학생은 빠진 조건 하나가 결과 전체에 영향을 준다는 점을 확인했다.
“계수 계산이 맞더라도 대응할 수 없는 원소가 포함되면 일대일대응이라고 결론 내릴 수 없다.”
이후 학생은 식을 정리할 때 부호만 다시 계산하는 방식으로 오류가 생긴 줄을 좁혔다. 계산 전체를 처음부터 반복하지 않고, 조건에 영향을 주는 항과 계수의 부호를 따로 확인하니 수정 과정도 짧아졌다.
식이 아닌 표로 바꿔 대응을 점검하다
다음 문항에서는 문자식이 아니라 두 집합의 원소와 대응 결과가 표로 제시되었다. 학생은 앞서 구한 식을 그대로 적용하지 않고, 각 입력값이 정확히 하나의 출력값에 연결되는지와 서로 다른 입력이 같은 출력으로 겹치지 않는지를 표의 행별로 살폈다. 또한 식에서 제외했던 값이 표에 포함되어 있는지 확인해 표현이 달라져도 정의역 조건을 놓치지 않았다.
- 모든 입력 원소에 대응값이 있는가
- 한 입력에 대응값이 두 개 생기지 않는가
- 서로 다른 입력이 같은 출력으로 합쳐지지 않는가
새 기호로 바꾼 문항에서 독립적으로 확인하다
마지막에는 기존 문자와 계수를 바꾼 함수가 제시되었다. 학생은 답을 외워 옮기지 않고, 정의역에서 제외해야 할 값을 먼저 찾은 뒤 후보 입력을 대응식에 대입했다. 그 결과 조건을 빠뜨렸을 때와 달리, 실제 대응되는 원소 수와 출력의 중복 여부가 서로 맞는지 확인할 수 있었다.
풍남동 생활권에서 진행한 이 사례는 일대일대응을 계산 결과만으로 판단하지 않고, 정의역 조건과 대응 관계를 함께 확인하는 연습으로 이어졌다.