전주효천지구 중1수학과외

전주효천지구 중1수학과외에서 이어 간 과부족방정식 풀이

이날 중심 주제는 어떤 수를 정해 조건을 식으로 나타내는 과부족방정식이었다. 학생은 문제의 숫자를 빠르게 계산하기보다, 무엇을 미지수로 둘지와 등식이 뜻하는 상황을 확인하는 데 초점을 맞췄다.

답부터 찾으려다 놓친 한 줄

문제는 다음과 같았다.

사탕을 한 봉지에 6개씩 나누어 주면 4개가 부족하고, 5개씩 나누어 주면 8개가 남는다. 사탕 봉지는 몇 봉지인가?

학생은 예전에 풀었던 문제의 순서를 떠올리며 곧바로 6x-4=5x+8을 적었다. 계산 자체는 이어 갈 수 있었지만, 여기서 x가 사탕의 개수인지 봉지의 수인지 밝히지 않았다. 식을 세우기 전에 미지수의 뜻과 두 상황에서 실제로 같은 양이 무엇인지 확인하지 않은 것이 첫 번째 어긋남이었다. 단순히 식을 기억해 적용한 셈이라, 조건이 바뀌면 어느 항을 옮겨야 하는지도 불안정했다.

교정은 한 가지에 집중했다. 이미 적은 식을 지우지 않고, 식 위에 “x는 봉지의 수”라고 먼저 쓴 뒤 각 상황을 문장으로 되돌렸다. 6개씩 나누어 주려면 필요한 사탕 수는 6x개이고 4개가 부족하므로 실제 사탕 수는 6x-4개이다. 5개씩 나누어 주면 8개가 남으므로 실제 사탕 수는 5x+8개이다. 따라서 두 표현이 같은 사탕 수를 나타내어 6x-4=5x+8이 된다고 확인했다.

양변에서 5x를 빼고 4를 더하는 과정을 나란히 적었다.

• 6x-4=5x+8
• x-4=8
• x=12

구한 12는 봉지의 수이므로 문제의 상황에도 맞는지 확인했다. 12봉지를 6개씩 나누면 72개가 필요하지만 4개가 부족하므로 실제 사탕은 68개이다. 5개씩 나누면 60개를 사용하고 8개가 남아 역시 68개이다. 계산 결과보다 먼저 미지수의 뜻을 세우고, 두 조건이 같은 대상을 나타내는지 살핀 것이 핵심이었다.

같은 개념을 표와 문장으로 바꾸어 적용하다

이후에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 표현을 바꾸었다.

어떤 수의 0.5배보다 3 큰 수와, 그 수의 0.2배보다 9 큰 수가 서로 같다. 어떤 수를 구하여라.

학생은 이번에는 바로 계산하지 않고 “어떤 수를 x라 하자”라고 적었다. 왼쪽은 0.5x+3, 오른쪽은 0.2x+9로 정리하여

• 0.5x+3=0.2x+9
• 0.3x=6
• x=20

이라고 풀었다. 이어서 같은 문제를 분수 표현으로 다시 읽었다. “어떤 수의 1/2에 3을 더한 값과 그 수의 1/5에 9를 더한 값이 같다”는 문장에서 주어진 수와 더해지는 수를 따로 표시하고, 다시 x/2+3=x/5+9를 세웠다. 이때 앞 문제의 모양을 복사하지 않고 문장을 읽어 각 항이 무엇을 뜻하는지 새로 정했다.

학생은 중간 식을 가린 상태에서 “왼쪽과 오른쪽은 같은 값을 나타내므로 등호를 사용한다. x는 두 표현에 공통으로 들어가는 수다”라고 설명했다. 그런 다음 x=20을 각각의 식에 넣어 왼쪽은 13, 오른쪽은 13임을 확인했다. 소수형과 분수형의 표현이 달라도 같은 등식 조건을 찾아야 한다는 점을 스스로 연결한 장면이었다.

힌트 없이 다시 세운 최종 풀이

마지막에는 새로운 문장을 제시하고 풀이 방향을 알려 주지 않았다.

어떤 수의 3배에서 7을 뺀 값은 그 수의 2배에 5를 더한 값과 같다. 어떤 수를 구하고, 두 식의 값으로 조건을 확인하여라.

학생은 “어떤 수를 x라고 두면 첫 번째 값은 3x-7, 두 번째 값은 2x+5”라고 직접 적었다. 이어서 3x-7=2x+5, x-7=5, x=12를 순서대로 작성했다. 이후 구한 값만 말하지 않고 원래 조건에 대입했다.

• 3×12-7=29
• 2×12+5=29

두 값이 같으므로 등식 조건을 만족한다고 설명했다. 또한 x를 먼저 정하지 않으면 숫자 3, 7, 2, 5가 무엇을 나타내는지 섞일 수 있고, 답을 구한 뒤 원래 등식에 넣어야 최초의 식이 조건을 제대로 반영했는지 확인할 수 있다고 말했다.