전주효천지구 고2수학과외







중항 관계를 거꾸로 확인하는 등차중항 문제
최종 검증은 역문제에서 시작할 수 있다. 공차를 직접 구하지 않고도 해결되는 문제인지 먼저 살펴보면, 계산을 줄여야 할 지점이 분명해진다. 이런 풀이 습관은 전주효천지구과외 수업에서도 등차수열 문제를 빠르게 점검하는 기준이 된다.
역문제로 확인한 핵심 관계
등차수열에서 항 번호가 대칭이면 두 항의 합은 일정하다.
am-r + am+r = 2am
따라서 a7과 a13은 a10을 기준으로 대칭이므로
a7 + a13 = 2a10
공차 없이 항을 구하는 과정
문제에서 a7 + a13 = 40이라고 하자.
그러면 2a10 = 40이므로
a10 = 20
공차를 d라고 두고 일반항을 전개하지 않아도 중항 관계만으로 답을 얻는다.
대칭 위치 항쌍으로 풀이 검산하기
a8 + a12, a9 + a11, a10 + a10은 모두 같은 값이다. 실제로 각각
a8 + a12 = 2a10,
a9 + a11 = 2a10,
a10 + a10 = 2a10
이므로 어느 대칭 항쌍의 합을 알아도 가운데 항을 구할 수 있다.
최초 풀이의 오류
처음에는 모든 항을 an = a1 + (n-1)d로 바꾸어 계산하려 했다. 그러나 a7과 a13을 전개하면
(a1+6d) + (a1+12d) = 2a1+18d
가 되어 미지수와 계산만 늘어난다. 이 문제의 조건은 이미 가운데 항과 직접 연결되어 있으므로 일반항 전개는 불필요하다.
조건이 바뀌었을 때의 판단
항 번호의 중간이 정수가 아니면 같은 방식으로 하나의 중항을 정할 수 없다. 예를 들어 a7과 a12의 평균 위치는 9.5이므로, 두 항의 합만으로 특정 한 항을 바로 구할 수 없다. 따라서 먼저 항 번호가 어떤 항을 기준으로 대칭인지 확인해야 한다.
결론적으로 ap와 aq가 기준 항 am에 대해 대칭이고 p+q=2m이면, ap+aq=2am이다.