전주효천지구 고2수학과외







중항 관계를 거꾸로 확인하는 등차중항 문제
최종 검증은 역문제에서 시작할 수 있다. 공차를 직접 구하지 않고도 해결되는 문제인지 먼저 살펴보면, 계산을 줄여야 할 지점이 분명해진다.
역문제로 확인한 핵심 관계
등차수열에서 항 번호가 대칭이면 두 항의 합은 일정하다.
am-r + am+r = 2am
따라서 a7과 a13은 a10을 기준으로 대칭이므로
a7 + a13 = 2a10
공차 없이 항을 구하는 과정
문제에서 a7 + a13 = 40이라고 하자.
그러면 2a10 = 40이므로
a10 = 20
공차를 d라고 두고 일반항을 전개하지 않아도 중항 관계만으로 답을 얻는다.
대칭 위치 항쌍으로 풀이 검산하기
a8 + a12, a9 + a11, a10 + a10은 모두 같은 값이다. 실제로 각각
a8 + a12 = 2a10,
a9 + a11 = 2a10,
a10 + a10 = 2a10
이므로 어느 대칭 항쌍의 합을 알아도 가운데 항을 구할 수 있다.
최초 풀이의 오류
처음에는 모든 항을 an = a1 + (n-1)d로 바꾸어 계산하려 했다. 그러나 a7과 a13을 전개하면
(a1+6d) + (a1+12d) = 2a1+18d
가 되어 미지수와 계산만 늘어난다. 이 문제의 조건은 이미 가운데 항과 직접 연결되어 있으므로 일반항 전개는 불필요하다.
조건이 바뀌었을 때의 판단
항 번호의 중간이 정수가 아니면 같은 방식으로 하나의 중항을 정할 수 없다. 예를 들어 a7과 a12의 평균 위치는 9.5이므로, 두 항의 합만으로 특정 한 항을 바로 구할 수 없다. 따라서 먼저 항 번호가 어떤 항을 기준으로 대칭인지 확인해야 한다.
결론적으로 ap와 aq가 기준 항 am에 대해 대칭이고 p+q=2m이면, ap+aq=2am이다.
유형 이름 없이 시작해 보기
문제집의 유형 제목을 가리고 주어진 조건만으로 사용할 개념을 골라 보세요. 제목이 있을 때만 풀이가 떠오른다면 문제의 특징과 풀이 방법을 연결하는 연습이 더 필요할 수 있습니다. 현재 단원 안에서 익숙한 예제 몇 개로 점검해 볼 수 있습니다.
학교에서 수학 과목을 함께 배우고 있다면
동시에 배우는 과목이 있다면 같은 수학이라는 이유로 진도와 숙제를 한 목록에 섞지 말고 과목명을 구분해 보세요. 과목마다 남은 질문과 평가 범위가 다를 수 있습니다. 고2 상담에서는 실제 수강 중인 과목과 학교 일정부터 확인하는 것이 좋습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
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선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
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