전주효천지구 고3수학과외

이항정리에서 계산을 멈출 줄 아는 판단

문제는 (1+2x)^7의 전개식에서 x^4의 계수와, 그 계수가 특정 조건을 만족하는 경우의 수를 함께 묻는 형태였다. 학생은 처음부터 전개식을 전부 쓰지 않고, 첫 30초 동안 필요한 항과 계산량을 살폈다. 일반항이 ₇Cᵣ(2x)^r임을 떠올리면 r=4인 항만 바로 찾을 수 있으므로 풀이를 시작할 만한 문항이라고 판단했다.

계산을 오래 붙잡게 된 첫 지점

문제는 두 번째 조건에서 어긋났다. 계수에 들어가는 조합값을 구한 뒤, 학생은 ‘조건을 만족하는 선택의 수’와 ‘각 선택에서 생기는 계수’를 같은 것으로 취급했다. 그 결과 가능한 정수 후보를 따로 적지 않고 식 하나를 길게 전개하려 했다. 최초의 문제는 계산 실수가 아니라, 어떤 값을 선택해야 하는지 정하지 않은 채 계산부터 늘린 행동이었다. 한 항만 구하면 되는 상황에서 전체 전개를 시도하면서 풀이 시간이 길어졌고, 결국 뒤 문항으로 옮길 시점도 놓쳤다.

학생은 풀이를 다시 세 줄로 줄였다. 첫 줄에는 “x의 지수 r=4”를 적고, 둘째 줄에는 “선택 조건: 0≤r≤7인 정수”를 따로 썼다. 셋째 줄에서만 ₇C₄·2⁴를 계산했다. 경우의 수를 묻는 부분은 조합계수 ₇C₄로, 항의 계수는 여기에 2⁴가 곱해진 값으로 분리했다. 이후 30초 안에 조건이 식으로 옮겨지지 않으면 다음 문항으로 넘어가고, 남은 시간에 돌아와 첫 줄의 조건부터 재진입하기로 기준을 정했다.

숫자가 아니라 질문의 방향을 바꾼 재적용

다음 변형에서는 전개식이 (1-3x)^6으로 주어졌고, 계수가 양수가 되는 항 중 x의 지수가 짝수인 항의 개수를 판단하게 했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니어서, 학생은 먼저 일반항 ₆Cᵣ(-3)^r x^r를 적었다. x의 지수가 짝수이면 r=0, 2, 4, 6이고, 부호가 양수인 항은 짝수 r에서만 나온다는 두 조건을 각각 확인했다. 따라서 가능한 항의 개수는 4개이며, 조합값의 합을 계수 전체와 혼동하지 않았다.

이번에는 문항 순서를 바꾸고 풀이 시간을 짧게 제한했다. 학생은 두 번째 조건이 보이지 않자 전개를 시작하지 않고, r의 범위와 짝수 조건만 먼저 표시했다. 계산이 필요한 항만 남긴 뒤 다른 문항으로 이동했고, 다시 돌아왔을 때는 표시한 후보 r=0, 2, 4, 6 중 실제로 항이 존재하는지 확인했다. 조건이 바뀌면 후보 목록도 함께 바뀐다는 점을 적용한 것이다. 한 줄짜리 반례도 만들었다. 만약 ‘짝수 지수’ 조건을 빼면 r=1인 항도 포함되므로 개수가 달라진다. 이 반례로 조건 하나를 생략한 일반화가 틀렸음을 스스로 걸렀다.

해설 없이 남은 판단을 확인하다

며칠 뒤 새 문제에서는 (a+b)^n의 전개식에서 x의 계수가 아니라 상수항과 세 번째 항의 관계를 이용해 n을 찾도록 제시했다. 보기 없이 답을 직접 쓰는 문제였고, 조건도 문장 속에 흩어져 있었다. 학생은 먼저 일반항의 번호를 세어 세 번째 항이 r=2에 해당한다고 설명했다. 이어 상수항은 r=0에서 생긴다는 것을 적고, 두 항의 계수식을 나란히 놓았다. 조합계수와 문자 계수를 분리했기 때문에 문제의 표현이 달라져도 같은 구조를 찾아냈다.

검산할 때 전체 이항식을 다시 전개하지 않고 위험한 한 줄만 확인했다. 세 번째 항의 지수가 정말 r=2인지, 부호가 원래 식의 조건과 맞는지, 구한 n을 원식의 항 번호에 다시 대입했는지를 차례로 점검했다. 해설과 자신의 첫 발상이 달라도 일반항에서 조건을 읽은 지점은 같다는 사실도 비교했다. 문제를 보았을 때 조건을 후보와 계산으로 분리하고, 계산이 길어지면 이동한 뒤, 재진입 시 표시한 위험한 한 줄부터 검증하는 판단이 유지되는가였다. 새 문제에서도 학생은 그 순서를 힌트 없이 꺼내 들었고, r의 범위와 항의 번호를 먼저 적은 뒤 풀이를 진행했다.