서완신동 고2수학과외







각을 구하지 않고 삼각형의 넓이 구하기
학생의 풀이 기록에는 먼저 cos 값을 구한 뒤 역코사인으로 끼인각을 찾는 과정이 길게 적혀 있었다. 하지만 세 변의 길이만 주어진 문제라면 각을 소수로 계산할 필요가 없다. 서완신동과외 수업에서는 코사인법칙과 sin²θ=1-cos²θ를 바로 연결해 넓이를 구하는 방법을 정리했다.
조건표에서 발견한 불필요한 계산
| 변 | 길이 | 각과의 관계 |
|---|---|---|
| 두 변 | 5, 6 | 끼인각 θ |
| 세 번째 변 | 7 | θ의 맞은편 변 |
코사인법칙에 의해
7² = 5² + 6² - 2·5·6cosθ
따라서
49 = 61 - 60cosθ
cosθ = 1/5
여기서 θ를 직접 구하려고 θ=cos⁻¹(1/5)로 계산하는 것은 넓이를 구하는 데 필요하지 않다.
사인값만 바꾸어 얻기
삼각함수의 기본 관계를 이용하면
sin²θ = 1 - cos²θ = 1 - (1/5)² = 24/25
삼각형의 각이므로 0<θ<π이고, 따라서 sinθ>0이다.
sinθ = 2√6/5
넓이 계산과 풀이 점검
하나의 공식으로 마무리하기
두 변과 그 끼인각을 이용한 넓이 공식은
S = 1/2 ab sinθ
이므로
S = 1/2·5·6·(2√6/5) = 6√6
따라서 삼각형의 넓이는 6√6이다.
교정 전후 비교
- 교정 전: 코사인값을 구한 뒤 역삼각함수로 각을 근삿값 계산
- 교정 후:
sin²θ=1-cos²θ를 사용해 정확한 사인값 계산
최종적으로 세 변 5, 6, 7은 삼각형을 만들 수 있고, 계산된 사인값도 양수이므로 조건과 결과가 모두 일치한다.