서완신동 고3수학과외

회전해서 같은 배열을 먼저 지우는 원순열 조건 판독

서완신동 생활권의 학습 상담에서 학생이 가져온 원순열 문제에는 “6명의 학생을 원탁에 앉힐 때 A와 B는 이웃하지 않게 하라”는 조건이 붙어 있었다. 학생은 곧바로 (6-1)! = 120을 적고, 조건을 반영하는 과정에서 A와 B를 한 묶음으로 세려 했다. 계산의 모양은 자연스러웠지만, 실제로는 제한조건을 사용하지 않은 상태였다.

풀이를 멈추게 한 것은 답이 아니라 첫 줄이었다. 원탁에서는 회전한 배열을 같은 것으로 보므로 A의 자리를 기준점으로 고정해야 한다. 그러면 나머지 다섯 명을 배치하는 전체 경우는 5!이고, A와 B가 이웃하는 경우는 B가 A의 양옆 중 한 자리에 있으므로 2×4!이다. 따라서 조건을 만족하는 경우는

5! - 2×4! = 120 - 48 = 72

가 된다. 학생의 최초 오류는 5!을 계산한 뒤 “A와 B가 이웃하지 않는다”를 식에 넣지 않은 것이었다. 경우의 수를 세는 절차와 허용되는 배열을 고르는 조건을 한 덩어리로 처리하면서, 제외해야 할 후보가 그대로 남아 있었다.

조건을 식보다 먼저 고정한 장면

학생에게 풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고, 빠진 조건만 첫 줄 왼쪽에 복원하도록 했다. 종이에 다음처럼 적었다.

• 기준점: A 고정
• 전체: 5!
• 제외: B가 A의 양옆에 오는 경우 2×4!

이 세 줄을 만든 뒤에야 계산을 이어 가게 하자, 불필요한 재계산 없이 최초의 누락만 바로잡을 수 있었다. 특히 “5!”은 전체 배열이고 “2×4!”는 조건에 맞지 않는 배열이라는 구분을 말로 설명하게 했다. 서완신동과외 학습 기록에서도 이처럼 조건을 계산 결과 뒤에 붙이지 않고, 첫 식의 근거 옆에 표시하는 습관을 중심으로 확인했다.

중간 식 한 줄을 가린 재구성에서는 정답 72만 보여 주고, 어떤 경우를 빼야 하는지 설명하게 했다. 학생은 A를 기준으로 고정한 뒤 B의 위치를 양옆으로 나누어 세야 한다고 답했다. 단순히 공식을 외운 것이 아니라, 조건이 허용하지 않는 표본을 먼저 제거하는 순서가 남았는지 확인한 셈이다.

조건의 위치를 바꾼 원탁 문제

수치를 그대로 바꾸는 대신 문제의 제한 방식을 바꾸었다. 이번에는 7명이 원탁에 앉되, A와 B 사이에 정확히 한 사람이 오도록 했다. 학생은 “이웃하지 않음”이라는 문장을 그대로 적용하지 않고, 다시 A를 기준점으로 잡았다. B는 A에서 두 자리 떨어진 두 방향 중 하나에만 올 수 있으므로 위치 선택은 2가지, 나머지 5명 배치는 5!이다.

2×5! = 240

여기서 학생은 앞 문제의 ‘제외’ 절차를 기계적으로 사용하지 않았다. 새 조건이 허용하는 위치를 먼저 정한 뒤 나머지를 배열했다. 즉, 같은 원순열이라도 조건이 “금지”인지 “지정”인지에 따라 표본공간을 다루는 방향이 달라진다는 점을 적용했다. 보기 없이 답과 근거를 직접 구성하게 한 이유도 이 판단을 확인하기 위해서였다.

힌트 없이 남은 판단

마지막에는 “8명이 원탁에 앉고 A와 B는 서로 마주 보게 하라”는 문제를 제시했다. 학생은 먼저 8명이므로 A의 맞은편 자리가 하나뿐이라고 판단하고, 회전 중복을 없애기 위해 A를 고정했다. B의 자리를 정한 뒤 남은 6명을 6!으로 배열해 경우를 세었다.

풀이를 마친 뒤에는 답만 확인하지 않고 세 가지를 역추적했다. 회전한 배열을 중복 계산하지 않았는가, 조건이 정한 B의 위치를 다른 자리까지 허용하지 않았는가, 마지막 6!이 남은 사람만의 배열인가를 차례로 점검했다. 조건을 첫 줄에 표시하고, 허용·제외되는 후보를 분리한 행동이 새로운 원순열에서도 스스로 나타났으므로 조건 판독의 기준이 유지된 것으로 볼 수 있었다.