황금동 중3수학과외

황금동 중3수학과외에서 살펴본 ‘항별로 곱하기’의 경계

황금동과외 수업에서 학교 프린트 한 장을 펼쳤습니다. 황금중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 유형이라고 해서 문제를 서둘러 많이 풀기보다, 한 식에서 어떤 항까지 곱해야 하는지를 먼저 확인했습니다. 캐슬골드파크와 대구광역시립수성도서관이 있는 생활권에서도 설명하기 좋은, 단항식과 다항식의 곱셈 문제였습니다.

식 -3x(2x²-x+4)를 전개하여 간단히 하시오.

답안에 남은 흔적

학생은 프린트에 다음과 같이 적었습니다.

-3x×2x² - x + 4
= -6x³ - x + 4

첫 번째 곱셈인 -3x×2x²=-6x³은 정확했습니다. 그러나 괄호 안의 두 번째 항과 세 번째 항에는 -3x를 곱하지 않았습니다. 이 답이 틀어진 최초의 판단은 계산 결과를 잘못 더한 순간이 아니라, 괄호 안 항을 하나의 묶음처럼 읽고 ‘앞의 단항식이 어느 항까지 곱해지는가’를 확인하지 않은 순간이었습니다.

수업 중 학생은 “앞의 2x²만 먼저 처리하면 된다”고 말했습니다. 그래서 식의 모양이 -3x(2x²-x+4)처럼 단항식과 괄호의 곱으로 되어 있을 때에는, 괄호 안의 모든 항에 -3x가 곱해져야 한다는 기준을 식에 표시했습니다. 핵심은 계수 -3, 문자 x, 그리고 각 항의 부호를 빠뜨리지 않는 것입니다.

바꾼 것은 한 가지 표시뿐

이미 맞게 계산한 첫 항은 그대로 두고, 괄호 안 항마다 곱셈선을 긋게 했습니다.

-3x(2x²-x+4)
=(-3x)(2x²)+(-3x)(-x)+(-3x)(4)
=-6x³+3x²-12x

교정은 풀이 방법 전체를 바꾸는 것이 아니었습니다. 처음부터 끝까지 항별 곱을 빠짐없이 적는 행동만 추가했습니다. 두 번째 항은 괄호 안에 -x가 있으므로 음수와 음수가 곱해져 +3x²가 되고, 마지막 항은 -12x가 됩니다. 이처럼 부호가 바뀌는 경우에도 계수와 부호를 따로 확인하면 앞 항의 계산 흐름을 유지할 수 있습니다.

표현을 바꾼 새 문제

다음에는 식을 바로 전개하지 않고, 빈칸에 각 항의 곱을 먼저 쓰도록 했습니다.

다음 식을 전개하시오.
(4a-1)(-2b+3)

이 문제는 앞의 단항식 하나가 다항식 전체에 곱해지는 모양과 달리, 두 항으로 이루어진 식이 다른 두 항에 각각 곱해지는 모양입니다. 따라서 네 개의 곱을 모두 확인해야 합니다.

(4a)(-2b)+(4a)(3)+(-1)(-2b)+(-1)(3)
=-8ab+12a+2b-3

여기서도 기준은 같지만 식의 경계가 달라졌습니다. 4a만 골라 곱하거나 -2b와 3 중 하나만 처리하면 안 됩니다. 괄호의 첫 항과 둘째 항을 차례로 짝지어 네 항을 만든 뒤, 각 곱의 부호를 확인해야 합니다. 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 곱셈이 분배되는 범위를 식의 모양에 맞게 판단하는 연습입니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

며칠 뒤 황금동중3수학과외 시간에는 다음 문제를 별도의 표시 없이 제시했습니다.

식 -2m(3m-5+2n)을 전개하고, m=1, n=2를 대입하여 전개 전 식과 결과가 같은지 확인하시오.

학생은 먼저 “-2m은 괄호 안 세 항 모두에 곱해진다”고 말한 뒤 스스로 계산했습니다.

-2m(3m-5+2n)
=(-2m)(3m)+(-2m)(-5)+(-2m)(2n)
=-6m²+10m-4mn

이제 원래 식에 값을 대입하면 -2×1(3×1-5+2×2)=-2(2)=-4입니다. 전개한 식에 대입한 값도 -6×1²+10×1-4×1×2=-6+10-8=-4입니다. 학생은 “세 항에 모두 곱했고, 전개 전후 값이 같으므로 빠뜨린 항이나 부호가 없다”고 설명했습니다. 도움 없이 곱해지는 경계를 선택하고, 같은 값을 대입해 자신의 전개를 검증한 장면이었습니다.