황금동 고2수학과외
“성공하지 않는 사건”이 정말 여사건일까?
확률 문제를 풀던 학생은 다음 문항에서 빠르게 답을 골랐습니다.
“어떤 선수가 한 번의 시도에서 성공할 확률이 \(p\)일 때, 성공하지 않을 확률을 구하여라.”
학생의 풀이 기록은 다음과 같았습니다.
\[ 1-p \]
계산 자체는 맞지만, 모든 문제에서 \(1-p\)를 사용할 수 있는 것은 아닙니다. 핵심은 ‘성공하지 않는다’는 조건이 성공 사건의 정확한 여사건인지 확인하는 데 있습니다.
여사건의 조건부터 확인하기
사건 \(A\)의 여사건 \(A^c\)는 \(A\)가 일어나지 않는 모든 경우입니다. 따라서 \(A\)와 \(A^c\)는 동시에 일어날 수 없고, 두 사건을 합치면 전체 표본공간이 되어야 합니다.
그러므로 다음 관계가 성립합니다.
\[ P(A^c)=1-P(A) \]
예를 들어 한 번의 시도에서 성공하거나 실패하는 두 경우만 가능하다면, ‘성공하지 않는 사건’은 곧 실패 사건이며 성공 사건의 여사건입니다.
비슷한 조건을 빼면 생기는 오류
다음 문제를 살펴보겠습니다.
“주사위를 한 번 던질 때 3의 배수가 나올 확률을 구하여라.”
사건 \(A\)를 ‘3의 배수가 나오는 사건’이라고 하면
\[ A=\{3,6\} \]
입니다. 따라서
\[ P(A)=\frac{2}{6}=\frac13 \]
여사건은 ‘3의 배수가 나오지 않는 사건’이므로
\[ A^c=\{1,2,4,5\} \]
이고,
\[ P(A^c)=1-\frac13=\frac23 \]
입니다.
반면 ‘홀수가 나오는 사건’은 \(\{1,3,5\}\)이므로 \(A\)의 여사건이 아닙니다. 두 사건이 일부 겹치기 때문에 \(1-P(A)\)로 계산할 수 없습니다.
풀이 전후 비교
잘못된 판단: 성공과 관련되지 않은 비슷한 조건을 골라 전체 1에서 뺀다.
교정된 판단: 먼저 원하는 사건을 문장으로 쓰고, 그 사건이 일어나지 않는 모든 경우를 정확히 문장으로 바꾼다.
그다음 \(A\)와 \(A^c\)가 겹치지 않는지, 둘을 합쳤을 때 전체 경우가 되는지 확인합니다. 이 두 조건을 만족할 때만 \(1-P(A)\)를 사용할 수 있습니다.
황금동과외에서 여사건을 연습할 때도 계산보다 먼저 사건의 반대 조건을 말로 점검하면, 비슷해 보이는 보기를 잘못 선택하는 실수를 줄일 수 있습니다.
최종 점검
- 구하려는 사건을 \(A\)로 정했는가?
- ‘\(A\)가 일어나지 않는다’는 문장이 정확한가?
- \(A\)와 \(A^c\)가 겹치지 않는가?
- 두 사건이 전체 경우를 빠짐없이 포함하는가?
- 그때만 \(P(A^c)=1-P(A)\)를 적용했는가?
여사건의 확률은 단순히 전체 1에서 아무 확률이나 빼는 공식이 아니라, 정확한 반대 사건을 확인한 뒤 사용하는 방법입니다.