황금동 중2수학과외

황금동 중2수학과외에서 다룬 거듭제곱의 괄호 경계

황금중학교가 포함된 생활권의 문제지에는 다음과 같이 보기의 참과 거짓을 판단하는 문제가 있었습니다.

(a^m)ⁿ=a^mn은 언제나 참이다.
(-a^m)ⁿ=-a^mn은 언제나 참이다.

학생은 먼저 두 식에서 괄호를 네모로 표시하고, 바깥 지수와 안쪽 식을 구분했습니다. 첫 번째 식은 a^m을 n번 곱하는 것으로 읽은 뒤 지수가 m+n이 아니라 mn이 된다고 적었습니다. 이어 두 번째 식에서는 괄호 앞의 마이너스까지 a^m에 붙어 있다고 보았지만, 계산을 이어 가면서 부호를 일부 항에만 적용했습니다.

결과보다 앞서 생긴 한 줄의 오류

학생의 풀이에는 다음과 같은 줄이 남았습니다.

(-a^m)ⁿ=-a^mn

이 식이 모든 n에서 성립하지 않는다는 결론보다 먼저 잘못된 판단은, 바깥 지수 n이 괄호 전체에 적용된다는 사실을 보류한 채 마이너스 하나만 따로 꺼낸 것이었습니다. 예를 들어 n=2이면 (-a^m)²는 양수가 되는데, 학생의 식은 -a^2m으로 음수가 됩니다. 부호의 결과가 틀어진 원인은 지수를 계산하지 못해서가 아니라 괄호의 적용 범위를 잘못 정한 데 있었습니다.

괄호 전체를 먼저 하나의 덩어리로 보기

교정에서는 이미 맞게 처리한 첫 번째 식의 과정은 그대로 유지했습니다. 다만 두 번째 식을 바로 전개하지 않고, 괄호 안 전체를 B라고 놓았습니다.

B=-a^m이라 하면 (-a^m)ⁿ=Bⁿ

이제 n이 짝수인지 홀수인지에 따라 부호가 달라진다는 점을 식 옆에 표시했습니다.

• n이 짝수이면 (-a^m)ⁿ=a^mn
• n이 홀수이면 (-a^m)ⁿ=-a^mn

따라서 학생은 두 번째 보기를 ‘언제나 참’이라고 판단하지 않고, n이 홀수라는 조건이 있을 때만 참이라고 고쳤습니다. 계산 전에 괄호 전체에 바깥 지수가 적용되는지 확인하고, 그다음 지수의 곱과 부호를 따로 처리하는 순서를 풀이 줄에 남겼습니다.

문장과 식의 모양을 바꿔 확인한 적용

같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고 표와 문장으로 바꾸어 제시했습니다. 다음 표에서 학생은 빈칸에 부호와 지수 표현을 직접 채웠습니다.

식	n의 조건	결과
(-x3)n	짝수	?
(-x3)n	홀수	?

학생은 먼저 괄호 안의 지수 3과 바깥 지수 n을 곱해 x³ⁿ을 적고, 표의 조건을 읽은 뒤 부호를 채웠습니다. 이어 “어떤 정수 n에 대해서도 (-x³)ⁿ이 음수인가?”라는 질문에는 n=2를 대입해 양수가 되므로 아니라고 답했습니다. 반대로 “항상 -x³ⁿ이 되는 조건은?”에는 n이 홀수일 때라고 문장으로 설명했습니다.

이번에는 식의 순서도 바꾸었습니다. -x⁶이 (-x³)²인지 묻자, 학생은 부호부터 비교하지 않고 오른쪽을 괄호 전체의 제곱으로 읽었습니다. 제곱이므로 양수인 x⁶이 되어 -x⁶과 다르다고 판별했습니다. 괄호가 없는 -x⁶과 괄호가 있는 (-x³)²의 차이를 표시하며, 마이너스의 위치가 조건이 될 수 있음을 확인했습니다.

힌트 없이 재현한 최종 검증

검증 문제에서는 다음 식만 제시하고 도움을 주지 않았습니다.

(-p²)^k에 대하여 k가 홀수일 때와 짝수일 때의 결과를 각각 나타내고, (-p²)⁴와 -p⁸이 같은지 설명하시오.

학생은 첫 줄에 “바깥 지수는 괄호 전체에 적용되므로 p의 지수는 2k”라고 썼습니다. 그 아래에 k가 홀수이면 -p^2k, 짝수이면 p^2k라고 나누었습니다. 이어 k=4를 넣어 (-p²)⁴=p⁸이라고 계산하고, -p⁸과는 부호가 다르므로 같지 않다고 설명했습니다.

학생은 마지막 검산에서 “먼저 괄호 전체를 묶고, 지수는 곱한 뒤, 바깥 지수의 홀짝으로 부호를 결정한다”고 자신의 순서를 다시 말했습니다. 이전처럼 마이너스를 한 항에 먼저 떼어 내지 않고, 새로운 식에서도 같은 판단을 스스로 세운 장면이 확인되었습니다.