황금동 고3수학과외

경계에서 멈춰 선 로그부등식 풀이

대구광역시립수성도서관 인근에서 진행한 풀이 점검에서 학생의 오답은 계산보다 앞선 단계에서 시작됐다. 문제는 log₂(x-1) ≤ 2를 푸는 것이었고, 학생은 곧바로 양변을 지수화하여 x-1 ≤ 4, 따라서 x ≤ 5라고 적었다. 일반적인 밑이 1보다 큰 로그부등식의 방향은 맞게 처리했지만, 답을 쓰기 전에 진수 조건을 확인하지 않은 것이 최초의 어긋남이었다.

정답의 끝점보다 먼저 확인할 것

학생에게 계산을 더 시키지 않고, 첫 줄 왼쪽에 문제에서 반드시 성립해야 하는 조건을 적게 했다.

x-1 > 0, 즉 x > 1

그 다음 지수화한 결과 x ≤ 5와 교집합을 만들었다. 따라서 해는 1 < x ≤ 5이다. 여기서 x=5는 로그값이 2가 되므로 포함되지만, x=1은 진수가 0이 되어 애초에 식이 정의되지 않으므로 제외된다. 학생은 처음에 얻은 5라는 경계값만 보고 결론을 내렸지만, 실제 경계 검증은 끝점의 포함 여부와 정의조건을 함께 살피는 과정임을 확인했다.

특히 밑이 0과 1 사이인 경우까지 같은 방향으로 처리하면 안 된다는 점을 한꺼번에 설명하지 않았다. 이번 사건에서 바로 고친 행동은 하나였다. 로그부등식의 첫 줄에 진수 조건을 먼저 기록하는 것이다. 일반적인 구간 규칙이나 다른 검산법을 추가하지 않고, 정의조건과 변환 결과를 마지막에 겹쳐 보게 했다. 황금동고3수학과외 학습에서도 이런 식으로 오답의 최초 행동을 좁혀야 풀이가 길어지지 않는다.

조건 하나가 결론을 바꾸는 변형

다음 날에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 표현과 조건의 위치를 바꾸었다.

log_1/2(3-x) > -1을 만족하는 x의 범위를 구하여라.

학생은 이번에는 바로 계산하지 않고 먼저 3-x > 0, 즉 x < 3을 적었다. 밑이 1/2이므로 로그함수가 감소한다는 점을 반영하여 부등호 방향이 뒤집힌다. 따라서

3-x < (1/2)^-1 = 2

이고, 이를 풀면 x > 1이다. 정의조건과 합치면 해는 1 < x < 3이다. 이번에는 x=1을 포함하지 않는다. log_1/22=-1이므로 원래 부등식이 엄격한 >이기 때문이다. x=3 역시 진수가 0이므로 제외된다.

학생은 풀이 중간에 “밑이 작으니 방향을 바꾼다”라고만 쓰지 않고, 첫 식 옆에 밑 0<a<1, 감소함수라고 근거를 한 문장으로 남겼다. 숫자를 기억해서 푼 것이 아니라, 정의조건과 밑의 위치를 문제에서 다시 찾아 적용한 것이다.

가려 둔 풀이를 스스로 복원하다

마지막 확인에서는 해설의 중간 부분을 가리고 다음 문제를 제시했다.

log₃(x+2) ≤ log₃(5-x)를 만족하는 정수 x를 구하여라.

학생은 먼저 두 진수에 대해 x+2>0, 5-x>0을 적어 -2<x<5라는 정의범위를 만들었다. 밑 3은 1보다 크므로 로그를 제거할 때 방향을 유지하고, x+2 ≤ 5-x에서 x ≤ 3/2를 얻었다. 두 조건을 합치면 실수 범위는 -2<x≤3/2, 정수해는 -1, 0, 1이다.

학생은 끝내 답만 확인하지 않았다. x=-2와 x=5를 원래 로그식에 넣을 수 없는 이유를 말했고, 경계 x=3/2에서는 양변의 진수가 각각 7/2로 같아 등호가 성립한다고 설명했다. 황금동과외 수업에서 확인한 변화도 여기에 있다. 새로운 유형을 만났을 때 먼저 진수 조건을 찾고, 밑에 따라 방향을 판단한 뒤, 마지막에 원래 조건과 경계값을 대조하는 순서가 힌트 없이 재현됐다.