노변동 중등수학과외

노변동중등수학과외, 점 A(4,-2)의 x축 대칭 좌표를 축 투영선으로 확인하기

좌표와 그래프에서는 숫자를 읽는 순서와 어느 축을 기준으로 움직이는지를 함께 확인해야 합니다. 이번 수업 자료의 기본 과제는 A(4,-2), B(-2,4)를 좌표평면에 표시하는 것이며, A는 제4사분면, B는 제2사분면에 놓입니다. 이어서 A를 x축에 대칭인 점으로 옮기면 정답은 (4,2)입니다. 노변동중등수학과외에서는 x축 대칭에서 x좌표의 부호를 바꾸는 반응이 나왔을 때, 답만 고치기보다 좌표의 뜻과 그림의 표시가 같은 내용을 말하는지부터 살펴봅니다.

좌표 한 쌍을 가로와 높이로 나누어 읽기

A(4,-2)는 먼저 원점에서 오른쪽으로 4만큼 이동하고, 그 위치에서 아래로 2만큼 이동한 점입니다. 따라서 가로 위치를 나타내는 x좌표는 4이고, 높이를 나타내는 y좌표는 -2입니다. 점에서 y축과 x축으로 각각 수직선을 내려 보면 x축에서 읽는 값은 4, y축에서 읽는 값은 -2가 됩니다. B(-2,4)는 왼쪽 2, 위쪽 4이므로 제2사분면에 표시됩니다. 여기서 A와 B의 숫자 4, -2가 같아 보여도 순서가 바뀌면 위치가 전혀 달라진다는 점을 그림으로 확인합니다. 좌표 이동 순서 카드에 ‘x방향 4’, ‘y방향 -2’를 따로 놓아 두면, 한 쌍의 숫자를 한 방향의 정보처럼 처리하는 일을 줄일 수 있습니다.

x축 대칭은 가로 위치를 남기고 높이만 바꾼다

x축은 좌표평면의 가로선입니다. 점 A를 이 선에 비추면 점은 x축의 위아래로만 옮겨지고, y축에서 얼마나 떨어져 있는지는 그대로입니다. 그러므로 x좌표 4는 유지됩니다. 반면 x축에서의 위아래 거리 2는 같되, 아래쪽의 -2가 위쪽의 2가 되어 y좌표의 부호만 바뀝니다. 식으로 쓰면 (x,y) → (x,-y)이므로 A(4,-2) → (4,2)입니다. 만약 (4,-2)를 (-4,-2)로 적었다면 x좌표의 부호를 바꾼 것이며, 이는 점을 y축의 반대편으로 옮긴 결과입니다. 교정할 때는 처음 적은 식을 지우기보다 남겨 두고, ‘x축에 비추면 높이와 가로 위치 중 무엇이 바뀌는가?’라는 질문에 그림의 위아래 변화와 연결해 수정 이유를 말하도록 합니다.

비교 과제에서 말·식·그림이 일치하는지 확인하기

비교 과제에서는 도움 없이 A의 대칭점을 표시한 뒤, 세 가지를 차례로 대조합니다. 첫째, 표시한 점이 x축 위쪽에 있는지 확인합니다. 둘째, x축까지의 거리가 원래 A의 2만큼과 같은지 확인합니다. 셋째, y축에서의 가로 거리와 방향이 그대로 오른쪽 4인지 읽습니다. 이 확인이 모두 맞으면 좌표는 (4,2)이고, 원래 점과 대칭점의 중간 높이는 (-2+2)÷2=0이어서 x축 위에 놓인다는 점도 알 수 있습니다. 다음에는 ‘각 축으로 선을 내리면 어떤 좌표가 읽히는가?’에 근거를 붙여 설명하고, 식과 표시가 모두 (4,2)를 가리키는지 확인합니다. 질문에는 답하지만 표기에서만 부호가 달라진다면 좌표 순서를 다시 표시하고, 설명과 실행이 함께 맞는지 본 뒤 다음 문제로 넘어갑니다.