탑동 중3수학과외

탑동 생활권에서 산점도 한 장을 읽는 방법

탑동과외 수업에서 산점도를 볼 때 학생들은 점 하나의 위치에 시선이 오래 머무는 경우가 있습니다. 일신여자중학교가 포함된 생활권의 한 수업에서 다음과 같은 풀이 장면이 있었습니다.

점 하나를 먼저 본 순간

문제에는 ‘하루 공부 시간’을 가로축, ‘수학 문제 정답 수’를 세로축으로 한 산점도가 제시되어 있었습니다. 대부분의 점은 오른쪽 위로 갈수록 모여 있었지만, 오른쪽 아래에 점 하나가 따로 있었습니다. 즉, 공부 시간은 6시간으로 길지만 정답 수는 4개인 자료였습니다. 나머지 자료는 대체로 공부 시간이 1시간, 2시간, 3시간, 4시간으로 늘 때 정답 수도 5개, 7개, 9개, 11개처럼 함께 커지는 모습이었습니다.

시간 제한을 두고 학생은 먼저 가로축과 세로축에 각각 ‘공부 시간’, ‘정답 수’라고 표시했습니다. 이어 대부분의 점을 손가락으로 연결하듯 훑은 뒤 다음과 같이 적었습니다.

“오른쪽 아래에 예외가 있으므로 공부 시간이 늘어도 정답 수는 일정하지 않다. 두 변수의 관계가 없다고 볼 수 있다.”

이 기록에서 계산이나 점의 위치를 잘못 옮긴 것은 아니었습니다. 문제는 결론을 내리는 시점이었습니다. 학생은 오른쪽 아래의 한 점을 먼저 보고, 전체 점이 이루는 흐름보다 그 점의 겉모양을 기준으로 관계 전체를 단정했습니다.

판단이 바뀌는 지점을 한 곳만 고치기

같은 산점도를 다시 보며 그 점을 지우지 않고 동그라미로 표시했습니다. 그리고 판단 순서를 바꾸어 두 축의 의미를 먼저 확인한 뒤, 예외 점을 잠시 제외한 나머지 점들이 어느 방향으로 모이는지 읽었습니다. 대부분의 점은 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 이어지는 흐름을 보였습니다. 따라서 ‘공부 시간이 늘수록 정답 수도 늘어나는 경향이 있다’고 해석할 수 있고, 오른쪽 아래의 점은 그 경향에서 벗어난 이상치라고 설명했습니다.

교정한 기록은 짧았습니다.

“한 점의 위치만으로 전체를 판단하지 않고, 두 축을 확인한 뒤 전체 점의 흐름을 먼저 읽는다. 이 자료에서는 이상치가 있지만 전체적인 증가 경향은 남아 있다.”

처음에 맞게 표시했던 축 이름과 점의 좌표는 그대로 두고, 이상치 하나 때문에 전체 관계를 없다고 단정한 부분만 수정했습니다. 이상치가 있다는 사실과 전체 분포의 방향은 동시에 성립할 수 있기 때문입니다.

표현을 바꾼 산점도에서 다시 읽기

며칠 뒤에는 표와 질문의 방향을 바꾼 문제를 제시했습니다. 이번에는 가로축이 ‘오답 수’, 세로축이 ‘복습에 사용한 시간’이었고, 점들은 대체로 오른쪽 위로 모였습니다. 다만 오답 수가 1개인데 복습 시간이 5시간인 점 하나가 왼쪽 위에 떨어져 있었습니다. 질문은 ‘복습 시간이 많으면 오답 수가 적다고 말할 수 있는가?’였습니다.

학생은 이번에는 점 하나의 위치부터 결론 내리지 않았습니다. 먼저 가로축이 오답 수, 세로축이 복습 시간임을 확인했습니다. 그다음 전체 점의 흐름이 오른쪽 위라는 사실을 읽고, “오답 수가 많은 학생일수록 복습 시간도 많은 경향이 있다”고 적었습니다. 왼쪽 위의 점은 오답 수가 적지만 복습 시간이 긴 예외 자료라고 구분했습니다. 축의 순서와 질문 문장이 달라졌지만, 판단 기준은 전체 점 분포와 축의 의미로 유지되었습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 산점도

마지막에는 도움 없이 새 산점도를 풀었습니다. 가로축은 ‘연습 문제 수’, 세로축은 ‘풀이 시간’이었습니다. 점 대부분은 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 퍼져 있었고, 연습 문제 수가 12개인데 풀이 시간이 8분인 점 하나가 아래쪽에 떨어져 있었습니다.

학생은 “축의 의미를 먼저 확인하면 연습 문제 수가 많을수록 풀이 시간도 길어지는 전체 경향이 보인다. 12개를 8분에 푼 점은 전체 흐름에서 벗어나지만, 그 한 점만으로 관계가 없다고 판단할 수는 없다. 따라서 이상치는 존재하되 전체 분포의 방향은 증가한다고 설명한다”고 썼습니다.

마지막으로 점을 하나씩 세어 보며 대부분의 점이 오른쪽 위 방향에 놓였는지 확인했습니다. 이상치 하나를 포함해도 전체 흐름과 자신의 해석이 맞는지 검산한 것입니다. 산점도에서는 눈에 띄는 예외를 발견하는 것보다, 그 예외가 전체 점의 분포를 실제로 바꾸는지 끝까지 확인하는 태도가 중요합니다.