탑동 중2수학과외
탑동 중2수학과외에서 확인한 확률의 경계
탑동과외 수업에서 학생은 일신여자중학교가 포함된 생활권의 문제지를 펼쳐 놓고, 주사위와 동전이 함께 나오는 확률 문제를 풀고 있었다. 용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권에서 자주 접할 수 있는 생활 속 선택 상황처럼 보였지만, 이 문제의 핵심은 계산보다 전체 경우와 원하는 경우를 중복 없이 구분하는 것이었다.
나열한 목록에서 빠진 한 줄
문제는 “공정한 주사위를 한 번 던져 나온 수가 짝수이거나 3의 배수일 확률”을 묻고 있었다. 학생은 먼저 가능한 결과를 1, 2, 3, 4, 5, 6으로 적은 뒤, 짝수는 2, 4, 6, 3의 배수는 3, 6이라고 표시했다. 이어 원하는 결과를 2, 4, 6, 3, 6으로 한 줄에 옮기고, 다섯 가지라고 세어 답을 5/6으로 적었다.
풀이 과정을 다시 살펴보니 계산을 잘못한 것이 아니라, 두 조건에 동시에 해당하는 6을 별개의 결과처럼 나열한 판단이 먼저 어긋나 있었다. 학생은 ‘짝수 목록’과 ‘3의 배수 목록’을 각각 옮긴 뒤 목록 사이의 겹침을 확인하지 않았다. 따라서 답을 고치기 전에 중복을 제거하는 기준부터 세워야 했다.
같은 결과가 두 조건에 들어가면 한 번만 센다. 전체 결과는 주사위의 가능한 6가지이고, 원하는 결과는 겹침을 지운 2, 3, 4, 6의 네 가지다.
학생은 두 목록에 공통으로 들어간 6에 동그라미를 치고, 원하는 결과를 2, 3, 4, 6으로 다시 적었다. 그다음 분모에는 가능한 전체 경우 6, 분자에는 조건을 만족하는 경우 4를 놓아 4/6, 즉 2/3으로 정리했다. 마지막으로 각 결과를 원래 조건에 대입해 2와 4와 6은 짝수, 3과 6은 3의 배수라는 점을 확인했다. 이미 작성한 전체 경우 목록은 그대로 두고 중복 처리만 바로잡은 것이다.
조건의 위치가 바뀐 문제
다음 문제에서는 표현을 바꾸었다. 주머니에 빨간 공 2개, 파란 공 3개, 초록 공 1개가 들어 있을 때 공 하나를 꺼내 “파란 공이 아닌 공”이 나올 확률을 구하는 상황이었다. 이번에는 색깔별로 원하는 경우를 바로 모으지 않고, 학생이 먼저 전체 6개를 표로 나누었다.
- 빨간 공: 2개
- 파란 공: 3개
- 초록 공: 1개
질문이 ‘파란 공’이 아니라 ‘파란 공이 아닌 공’이므로, 학생은 여사건을 이용해 전체 1에서 파란 공이 나올 확률 3/6을 빼려고 했다. 여기서 중요한 점은 조건이 바뀌면 원하는 경우를 먼저 다시 읽고, 여사건을 사용했다면 1에서 빼는 과정을 끝까지 수행하는 것이었다. 학생은 1-3/6=3/6으로 계산한 뒤, 표에서 파란색이 아닌 공이 빨간색 2개와 초록색 1개라는 사실과 일치하는지 확인했다.
이 과정은 숫자만 바꾼 연습이 아니었다. 앞 문제에서는 여러 조건의 결과를 직접 합치며 겹치는 결과를 한 번만 세었고, 새 문제에서는 색깔별 자료표를 읽어 반대 조건을 계산했다. 표현은 목록에서 표와 문장으로 달라졌지만, 분모는 전체 경우, 분자는 조건에 맞는 경우라는 기준은 유지됐다.
힌트 없이 세운 최종 판단
수업 끝 무렵 학생에게 “주사위와 동전을 동시에 한 번 시행할 때, 주사위 눈이 4 이상이거나 동전이 앞면일 확률”을 제시했다. 학생은 곧바로 주사위 6가지와 동전 2가지를 곱해 전체 경우가 12가지라고 적고, 조건을 만족하지 않는 경우를 먼저 찾았다. 주사위가 4 이상이 아니면서 동전이 뒷면인 경우는 주사위 1, 2, 3과 뒷면의 세 경우뿐이라고 설명했다.
따라서 원하는 경우는 전체 12에서 제외할 3을 뺀 9가지, 확률은 9/12=3/4라고 답했다. 학생은 “4 이상이거나 앞면인 경우를 직접 나열하면 겹치는 결과를 따로 세기 쉬워서, 두 조건을 모두 만족하지 않는 경우를 한 번만 세고 여사건으로 구했다”고 이유를 말했다. 이어 12개 결과를 간단히 표로 확인해 뒷면에서 1·2·3만 제외되는지 검산했다. 이번에는 별도 표시나 질문 없이도 경계에 해당하는 경우와 경계 밖의 경우를 나누고, 직접 나열한 결과와 계산값이 같은지 스스로 확인했다.
이처럼 탑동중2수학과외에서는 정답 숫자보다 결과를 세는 순간의 판단을 기록한다. 탑동중2수학과외에서 다루는 확률 문제도 조건의 ‘또는’, ‘아닌’, ‘동시에’가 바뀌면 목록의 겹침과 제외할 범위를 먼저 확인해야 하며, 전체 경우와 원하는 경우가 끝까지 일치하는지 검산하는 과정까지 풀이에 포함한다.