탑동 중1수학과외
탑동 생활권에서 이어진 다각형 외각 풀이
용두암현대1차아파트와 내덕칠거리 주변 생활권에서 중1 수학을 지도하며, 일신여자중학교가 포함된 생활권의 숙제 한 문제를 함께 살펴보았다. 문제는 여러 변으로 이루어진 다각형 그림에서 표시된 각을 이용해 외각의 크기를 구하고, 전체 외각의 합을 설명하는 내용이었다. 이번 풀이의 중심은 다각형의 외각의 합이었다.
그림의 선을 따라가다 생긴 첫 혼동
학생은 오각형의 한 꼭짓점에서 한 변을 연장해 만든 각을 외각으로 표시한 뒤, 다른 꼭짓점에서는 그림 안쪽에 표시된 각을 그대로 외각이라고 적었다. 이어서 표시된 다섯 각을 더해 420°를 만들었다. 계산 자체보다 먼저 살펴볼 부분은 각의 크기가 아니라 다각형의 경계를 따라 한 방향으로 돌 때 바깥쪽으로 꺾이는 각인지였다.
학생의 풀이에서 결과가 어긋나기 시작한 최초 판단은, 연장선이 보이지 않는 꼭짓점의 안쪽 각도 외각으로 인정한 것이었다. 그림에 표시된 각을 모두 같은 종류라고 본 셈이다. 그래서 한 꼭짓점에서 회전하는 방향과 관계없는 각이 합에 들어갔다.
외각을 찾을 때는 표시된 위치보다 다각형의 경계와 한 변의 연장 여부를 먼저 확인한다.
경계에 실제로 놓인 각만 다시 연결하기
교정할 때 이미 계산한 부분을 모두 지우지 않고, 오각형의 꼭짓점에 1부터 5까지 번호를 붙였다. 각 꼭짓점에서 경계의 한 변을 따라 들어오고 다음 변으로 나갈 때 방향이 얼마나 꺾이는지 화살표로 표시했다. 한 변을 연장해 바깥쪽에 생긴 각은 외각으로 남겼고, 다각형 내부에만 놓인 각은 외각 합에서 제외했다.
그 결과 다섯 외각을 차례로 확인할 수 있었다. 첫 번째 외각은 80°, 두 번째는 70°, 세 번째는 110°, 네 번째는 60°였으며, 마지막 외각은 앞의 네 각을 더한 뒤 한 바퀴인 360°에서 빼서 40°가 되었다. 따라서
80°＋70°＋110°＋60°＋40°＝360°
이다. 외각의 합이 360°가 되는 이유도 단순히 공식을 적는 대신, 출발한 변의 방향으로 돌아올 때 경계를 따라 한 바퀴 회전하기 때문이라고 설명했다.
도형을 돌리고 질문을 바꾼 독립 적용
다음 문제에서는 같은 오각형을 시계 방향으로 돌려 놓고, 각의 크기를 그림에 직접 쓰지 않았다. 대신 “두 번째 꼭짓점에서 진행 방향이 95°만큼 꺾이고, 세 번째와 네 번째 외각은 각각 75°, 85°이다. 첫 번째와 다섯 번째 외각의 합은 얼마인가?”라고 제시했다. 학생은 그림의 방향이 바뀌었어도 꼭짓점 번호를 다시 매기지 않고, 경계를 따라 움직이는 순서를 먼저 표시했다.
학생은 주어진 세 외각을 95°＋75°＋85°로 묶은 뒤, 남은 두 외각의 합을 360°－255°로 구해 105°라고 답했다. 여기서는 각도 하나를 무조건 찾는 대신, 질문이 요구한 두 각의 합을 직접 구했다. 도형이 회전했지만 외각의 합이 변하지 않는다는 점과, 문제에서 요구한 대상이 어느 각인지 구별한 점이 중요했다.
표로 바뀐 조건에서도 같은 판단을 재현하다
마지막에는 그림 없이 꼭짓점별 외각을 표로 제시했다. 표에는 1번 72°, 2번 88°, 3번 64°, 4번 91°가 적혀 있고, 5번은 공란이었다. 학생은 먼저 이 값들이 모두 다각형의 경계를 따라 같은 방향으로 잡힌 외각인지 확인했다. 그 뒤 네 각의 합을 315°로 계산하고, 360°에서 빼서 공란을 45°로 채웠다.
학생은 힌트 없이 “표의 각들은 모두 경계에서 방향을 바꾸는 각이므로 한 바퀴의 회전량을 이루며, 이미 주어진 각을 더한 뒤 360°에서 빼야 한다”고 설명했다. 이어 72°＋88°＋64°＋91°＋45°를 다시 계산해 360°임을 확인했다. 처음처럼 그림 안쪽의 각을 외각으로 끌어오지 않고, 경계에 연결된 각만 골라 판단한 것이다.
이 과정을 통해 탑동과외 수업에서는 공식 암기보다 외각의 위치와 경계 방향을 먼저 확인하는 풀이를 남겼다. 탑동중1수학과외에서도 도형의 방향, 조건의 제시 순서, 질문의 표현이 달라져도 같은 기준으로 외각을 선택하고 360°로 검산할 수 있는지 확인했다.