하단동 중등수학과외

하단동중등수학과외, 9·10과 60°로 합동 조건을 확인하는 방법

삼각형의 합동에서는 두 변의 길이가 같다는 사실만으로 두 삼각형의 모양과 크기가 완전히 같다고 결론 내릴 수 없습니다. 이번 수업 장면은 각각 길이 9, 10인 두 변과 그 사이각 60°가 주어진 두 삼각형을 비교하는 문제에서 출발합니다. 구할 것은 두 삼각형이 합동인지의 여부이며, 길이 9와 10이라는 수치뿐 아니라 60°가 두 변 사이에 놓인 각이라는 조건이 답을 결정합니다. 두 변만 보고 합동이라고 판단했다면, 어느 조건이 빠졌는지와 그 조건이 왜 필요한지를 식이나 표시로 다시 확인하는 과정이 필요합니다.

두 변 사이의 60°를 대응 순서로 표시하기

먼저 한 삼각형의 길이 9인 변과 길이 10인 변을 각각 같은 색으로 표시하고, 다른 삼각형에서도 대응하는 9와 10을 같은 순서로 표시합니다. 이어 60°는 아무 각에 쓰는 것이 아니라 표시한 두 변이 만나는 꼭짓점의 각에 표시합니다. 이때 두 변과 그 사이각이 각각 같으므로 SAS 합동 조건을 만족하여 두 삼각형은 합동입니다. 여기서 SAS는 변-각-변의 순서 자체가 핵심입니다. 길이 9인 변, 그 끝에서 만나는 60°, 다시 길이 10인 변이 연결되어 있어 삼각형의 벌어진 정도까지 하나로 정해집니다.

풀이에는 ‘9와 10이 같으므로 합동’이라고만 적지 않고 ‘두 변의 길이가 각각 9, 10으로 같고, 그 두 변 사이각이 모두 60°이므로 SAS 합동’이라고 고쳐 적습니다. 교사는 “주어진 각은 두 변 사이의 각인가요?”라고 짧게 묻고, 학생이 60° 표시를 두 변이 만나는 꼭짓점에 직접 둘 수 있는지 확인합니다. 합동 판단은 도형의 그림 모양이 비슷해 보여서가 아니라 대응하는 세 조건이 같은 순서로 주어졌다는 근거로 이루어집니다.

60°를 지우면 왜 답을 확정할 수 없을까

비교 문제에서는 길이 9와 10인 두 변은 그대로 두되, 사이각 60° 조건을 삭제합니다. 이 경우 두 삼각형이 합동이라고 확정할 수 없습니다. 한 삼각형은 길이 9와 10 사이의 각을 60°로 만들 수 있지만, 다른 삼각형은 같은 두 변 사이의 각을 80°처럼 다르게 만들 수 있습니다. 두 변의 길이는 같아도 벌어진 각이 달라지면 세 번째 변의 길이와 삼각형의 모양이 달라질 수 있으므로, 두 삼각형이 반드시 포개진다고 말할 수 없습니다.

따라서 이 과제의 답은 ‘확정할 수 없음’입니다. 두 변의 길이를 맞춘 뒤 사이각을 다르게 표시해 보는 것이 검산이 됩니다. 9와 10이라는 수치가 유지되었어도 각도 조건이 사라진 순간 삼각형은 하나로 결정되지 않는다는 점을 확인할 수 있습니다. 하단동중등수학과외에서는 기본 문제의 정답을 암기하는 데서 멈추지 않고, 비교 문제에서 무엇이 유지되고 무엇이 빠졌는지를 분리해 보며 판단의 근거를 점검합니다.

수정한 풀이가 스스로의 판단으로 이어지는지 확인하기

교정할 때는 처음 적은 ‘두 변이 같으니 합동’이라는 문장을 지우기보다 남겨 두고, 그 옆에 ‘사이각이 있어야 SAS를 적용할 수 있음’이라고 수정 이유를 적는 방식이 좋습니다. 이후에는 도움 없이 두 문제를 나란히 놓고 조건을 분류합니다. 기본 문제에는 9, 10, 두 변 사이의 60°가 있고 합동을 판단할 수 있습니다. 비교 문제에는 9와 10만 있고 사이각이 없으므로 합동을 확정할 수 없습니다. 같은 두 변이 있어도 결론이 달라지는 이유가 눈에 보이게 됩니다.

다음 단계에서는 “주어진 각은 두 변 사이의 각인가요?”와 “각도 조건을 없애고 두 변만 남겨도 모양이 정해지나요?”에 각각 근거를 붙여 답하는지 살핍니다. 첫 질문에는 60°가 길이 9와 10의 공통 꼭짓점에 있다는 표시를, 둘째 질문에는 사이각을 다르게 한 삼각형을 만들 수 있다는 설명을 제시해야 합니다. 비교 과제에서 다시 합동이라고 판단한다면, 두 변의 끝점과 각의 위치를 색으로 연결해 본 뒤 조건이 빠진 자리를 찾아보는 확인을 이어 갑니다.