하단동 고등수학과외

하단동 고등수학과외에서는 같은 것이 있는 순열을 계산한 뒤 답만 확인하지 않고, 왜 중복된 원소의 팩토리얼로 나누는지까지 다시 점검한다. 부산여자고등학교와 건국고등학교 학생들이 학교 자료의 조건 네 가지를 정리할 때도, 공식의 모양을 외우는 것보다 어느 단계에서 중복을 제거했는지 표시하는 연습이 풀이의 안정성을 높인다. 하단SK뷰 아파트와 신평현대아파트 인근에서 수업하는 학생의 풀이를 살펴보면 이 개념의 첫 오류가 자주 비슷한 자리에서 나타난다.

중복 나누기를 먼저 적고도 빠뜨린 순간

학생에게 문자 A, A, B, C를 한 줄로 배열하는 문제를 제시했다. 학생은 전체 네 문자를 일단 서로 다른 것으로 생각해 4!을 적은 뒤, “A가 두 개 같으므로 2!로 나눈다”고 말했다. 여기까지는 방향이 맞았다. 그런데 조건 네 가지가 함께 붙은 문제로 넘어가자 풀이 중간에 조건을 하나씩 적용하면서 이미 적어 둔 2!을 지워 버렸다.

학생의 실제 식은 다음과 같았다.

4! × 조건 적용 결과 ÷ 2! → 조건을 정리한 뒤 4! × 조건 적용 결과

처음 잘못된 순간은 조건을 계산하는 줄에서 중복 나누기 표시가 사라진 때였다. 학생은 조건을 확인하는 과정에서 배열의 위치가 달라졌으니 같은 A도 새롭게 세어야 한다고 생각했다. 그러나 위치 조건을 적용해도 A와 A를 서로 다른 문자로 구별할 근거는 생기지 않는다. 같은 배열을 첫 번째 A와 두 번째 A의 이름만 바꾸어 두 번 센다면, 그 두 경우는 여전히 하나의 배열이다.

계산보다 먼저 남겨 둔 보류 표시

교정할 때 조건 네 가지를 한꺼번에 다시 풀게 하지 않았다. 종이에 ‘중복 나누기 유지 여부’라는 작은 칸을 만들고, 조건을 적용할 때마다 그 옆에 보류 표시를 남기게 했다. 예를 들어 A 두 개가 같은 문자라는 사실이 변하지 않았다면 2!을 그대로 둔다. 특정 자리에 A를 배치하지 못하게 하는 조건이 생겨도, 남은 배열에서 동일한 A들이 구별되는 것은 아니므로 나눗셈 근거는 사라지지 않는다.

학생은 먼저 조건을 제외한 기본 배열을 다시 적었다.

서로 다른 네 자리로 세면 4!
A가 두 개 같으므로 같은 배열이 2번씩 반복되어 4! ÷ 2! = 12

그 다음 조건을 하나씩 옆에 붙였지만, 마지막에 계산하지 않고 ‘2! 유지’라고 기록했다. 이 보류 기록은 답을 빨리 얻기 위한 메모가 아니다. 중복을 나누는 이유가 조건 계산과 별개의 논리라는 점을 확인하는 장치다. 조건에 따라 가능한 배열만 줄어들 수는 있어도, 같은 배열을 이름만 바꾸어 센 횟수까지 자동으로 달라지는 것은 아니다.

표현을 바꾸어 혼자 선택하기

다음에는 문자를 숫자 대신 색깔로 바꾸었다. 빨간 구슬 두 개와 파란색, 초록색 구슬을 한 줄로 놓되, 첫 자리에 빨간 구슬을 놓지 않는 상황이었다. 학생은 먼저 ‘같은 것이 있는 순열’이라는 근거를 스스로 골라야 했다. 전체 배열은 4!÷2!로 세고, 첫 자리가 빨간색인 배열을 따로 계산해 빼는 방식으로 식을 세웠다.

첫 자리가 빨간색이면 남은 것은 빨간 구슬 하나와 파란색, 초록색이므로 3!이다. 따라서 가능한 배열은

4! ÷ 2! − 3! = 12 − 6 = 6

이다. 이 문제에서는 숫자와 기호가 달라졌지만, 두 빨간 구슬을 서로 다른 구슬로 취급한 뒤 마지막에 2!로 나누어야 한다는 판단은 그대로였다. 학생은 이전 풀이를 보지 않고도 ‘같은 원소의 개수부터 확인하고, 조건에 맞는 배열에서도 중복 여부를 유지한다’고 설명했다.

작은 경우를 직접 펼쳐 보는 검산

마지막에는 공식을 다시 쓰지 않고 A, A, B 세 문자만 직접 배열했다. 가능한 결과는 AAB, ABA, BAA 세 가지였다. 만약 두 A에 이름을 붙여 A₁, A₂로 세면 각 결과가 두 번씩 나타나 총 6개가 된다. 따라서 3!을 2!로 나누는 이유가 계산 편의를 위한 약속이 아니라, 동일한 배열의 반복 횟수를 제거하는 과정임을 확인했다.

학생은 처음 틀린 조건 네 가지 문제로 돌아가 각 조건 뒤에 남은 배열을 짧게 적고, 같은 배열이 몇 번 반복되는지 확인했다. 조건을 통과한 배열을 직접 나열했을 때에도 A의 이름을 바꾼 결과는 새 배열로 세지 않았다. 공식 계산과 직접 배열의 수가 일치하면서, 중간 줄에서 빠뜨린 2!이 단순한 기호가 아니라 검산 기준이었다는 점이 드러났다.

자주 묻는 내용

• 같은 문자가 두 개면 언제나 2!로 나누나요?
  전체 배열을 서로 다른 것으로 세었을 때 동일한 문자끼리 생기는 중복 횟수가 2!이라면 나눕니다.
• 조건을 적용하면 중복 나누기를 생략해도 되나요?
  조건 때문에 동일한 문자들이 실제로 구별되는 상황이 생기지 않았다면 생략할 수 없습니다.
• 서로 다른 문자가 여러 종류 반복되면 어떻게 하나요?
  각 반복 문자 개수의 팩토리얼을 모두 곱해 전체 팩토리얼을 나눕니다.
• 조건을 먼저 처리하고 마지막에 나눠도 되나요?
  가능하지만, 조건을 적용한 뒤에도 같은 배열을 몇 번 세었는지 확인해야 합니다.
• 공식이 헷갈릴 때 가장 간단한 확인 방법은 무엇인가요?
  원소 수를 줄여 직접 배열하고, 같은 배열이 이름 바꾸기로 몇 번 반복되는지 세어 봅니다.