청천동 중3수학과외

청천동 중3수학과외, 30도 삼각비에서 먼저 확인할 것

청천동과외 수업에서 풀이가 끝난 뒤 답만 확인하지 않고, 계산이 틀어지기 시작한 지점을 거꾸로 살펴보았습니다.

완성된 풀이에서 드러난 첫 선택

문제는 다음과 같았습니다.

직각삼각형 ABC에서 ∠B=30°, ∠C=90°, AC=6일 때 sin B의 값을 구하여라.

학생은 그림에서 ∠B 옆에 표시된 변 AB를 먼저 보고, 다음과 같이 적었습니다.

sin B = 밑변 ÷ 빗변 = 6 ÷ AB

이후 30° 삼각비를 이용해 AB를 12로 계산하고, sin B를 1/2로 정리했습니다. 결과만 보면 우연히 맞아 보이지만 풀이 기록에는 중요한 문제가 있었습니다. sin을 정할 때 AC가 어떤 변인지 확인하지 않은 채 ‘밑변’이라는 말을 먼저 적용한 것입니다.

채점 직후 완성된 풀이를 뒤에서부터 읽으며 확인한 대상은 계산식이 아니라 기준각 B와 그 기준에서 각 변이 맡는 역할이었습니다. ∠C가 직각이므로 AB가 빗변이고, ∠B를 기준으로 마주 보는 변은 AC입니다. 따라서 AC=6은 밑변이 아니라 ‘대변’에 해당합니다.

계산이 아니라 기준각 표시부터

가장 먼저 어긋난 판단은 삼각비나 변을 고르기 전에 기준각을 확정하지 않은 것이었습니다. 뒤의 30° 계산이나 나눗셈이 최초 오류는 아니었습니다. 기준각이 정해지지 않으면 같은 변도 보는 각에 따라 대변 또는 인접변이 되기 때문입니다.

교정은 풀이 전체를 다시 쓰는 방식이 아니었습니다. 그림에서 ∠B에 동그라미를 치고, 그 각을 기준으로 AC에는 ‘대변’, AB에는 ‘빗변’이라고 표시했습니다. 그 뒤 필요한 비만 다시 선택했습니다.

sin은 기준각의 대변과 빗변의 비이므로

sin 30° = AC ÷ AB = 6 ÷ AB

30°에서 sin 30°=1/2이므로

1/2 = 6 ÷ AB, AB=12

앞서 계산한 AB=12는 유지할 수 있었고, 달라진 것은 변의 역할을 확인한 뒤 sin의 식을 세운 순서뿐이었습니다. 이 문제에서 핵심은 값을 외우는 데 있지 않고, ‘어느 각을 기준으로 대변과 빗변을 고르는가’에 있었습니다.

표현이 바뀐 새 문제에서 기준을 찾다

다음에는 식이 바로 주어지지 않은 문제를 제시했습니다.

직각삼각형 PQR에서 ∠Q=90°이다. 변 PR의 길이는 10이고, 변 PQ와 빗변 PR이 이루는 각은 30°이다. 변 QR의 길이를 구하여라.

이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 기준각을 그림 설명 속에서 찾아야 하는 형태였습니다. 학생은 먼저 “PQ와 PR이 만나는 꼭짓점이 P이므로 기준각은 ∠P”라고 말했습니다. 이어 ∠Q가 직각이므로 PR이 빗변이고, ∠P에서 마주 보는 변은 QR이라고 표시했습니다.

구하려는 QR은 대변이고 알고 있는 PR은 빗변이므로

sin 30° = QR ÷ PR

1/2 = QR ÷ 10

따라서 QR=5입니다. 여기서도 다른 삼각비를 섞지 않고, 표시한 기준각에 맞춰 필요한 두 변만 선택했습니다.

힌트 없이 다시 설명한 마지막 풀이

며칠 뒤에는 다음 문제를 풀이 과정 가림 상태로 제시했습니다.

직각삼각형 XYZ에서 ∠Z=90°, ∠X=30°, YZ=7일 때 sin X의 값을 구하고, 빗변 XY의 길이를 구하여라.

학생은 먼저 ∠X에 표시하고 “sin X를 구할 때 기준은 X”라고 적었습니다. X에서 마주 보는 변은 YZ, 직각의 맞은편인 XY는 빗변이므로

sin X = YZ ÷ XY = 7 ÷ XY

또한 sin 30°=1/2이므로 1/2=7÷XY, 따라서 XY=14라고 설명했습니다.

마지막으로 구한 빗변을 원래 식에 대입하여 7÷14=1/2이고, 30°의 sin 값과 일치한다고 검산했습니다. 도움 없이도 기준각을 먼저 선택하고, 그 기준에서 대변과 빗변을 정한 뒤, 원래 직각삼각형에 결과를 대입해 확인했습니다.

청천동중3수학과외에서는 이처럼 정답보다 앞선 선택을 기록하며, 30도 삼각비 문제에서 기준각에 따른 변의 역할을 스스로 재현하도록 연습합니다.