청천동 중1수학과외

두 양의 관계를 먼저 확인한 반비례 풀이

청천동과외 수업에서 학생은 청천중학교가 포함된 생활권의 문제 자료를 풀었다. 광명아파트와 금호아파트가 있는 생활권에서 행사 안내문을 만드는 상황이었다. 안내문에는 같은 양의 자료를 여러 묶음으로 나누어 포장할 때, 한 묶음의 수와 묶음마다 들어가는 자료의 수를 정하는 표가 제시되어 있었다.

문제의 조건은 자료 전체가 24개이고, 묶음 수를 눈으로 정하면 한 묶음의 자료 수가 달라진다는 내용이었다. 학생은 표에서 묶음 수가 2일 때 한 묶음에 12개, 3일 때 8개, 4일 때 6개라는 대응값을 확인했다. 그러나 표를 덮고 “묶음 수가 5일 때 몇 개인가?”를 묻자 곧바로 12에서 3을 빼고 9라고 적었다.

오답에서 거꾸로 찾은 첫 판단

계산 결과인 9가 틀렸다고만 지적하지 않고, 학생이 숫자를 적기 직전의 판단을 되짚었다. 학생은 묶음 수와 한 묶음의 자료 수가 함께 커지는지, 하나가 커질 때 다른 하나가 어떻게 변하는지 확인하지 않은 채 앞의 값에서 차이를 빼고 있었다. 즉, 두 양의 관계를 정하지 않고 계산부터 시작한 것이 첫 어긋남이었다.

학생에게 표의 대응값을 다시 읽게 한 뒤, 묶음 수와 한 묶음의 자료 수를 곱해 보도록 했다.

2×12=24
3×8=24
4×6=24

세 경우 모두 곱이 24로 같았다. 그래서 이 문제에서는 한 양이 커질수록 다른 양이 작아지고, 두 양의 곱이 일정하다는 점을 먼저 적었다. 이미 계산한 내용은 버리지 않고, “묶음 수×한 묶음의 자료 수=24”라는 식으로 정리했다. 묶음 수가 5일 때는 5×한 묶음의 자료 수=24이므로 24를 5로 나눈 값이 된다는 이유도 함께 말하게 했다. 정수 묶음이라는 상황에서는 5묶음으로 정확히 나눌 수 없으므로, 문제에서 정수 묶음만 허용하는지 조건을 살펴야 한다는 점까지 확인했다.

표를 문장과 식으로 바꾸어 다시 읽기

다음 문제에서는 표 대신 “일정한 양의 물을 여러 병에 똑같이 나누어 담는다. 병의 수가 늘어나면 한 병에 담기는 양은 줄어든다”라는 문장만 제시했다. 학생은 곧바로 숫자를 계산하지 않고, 병의 수를 x, 한 병의 양을 y로 정했다. 전체 물의 양이 30L라면 x×y=30이라고 식을 세웠다.

이후 문장을 표로 옮겨 병의 수가 1, 2, 3, 5일 때 한 병의 양을 각각 30, 15, 10, 6으로 적었다. 표의 한 줄을 좌표처럼 생각해도 모든 대응값이 같은 곱을 만든다는 점을 설명했다. 그래프를 그릴 때는 각 대응값을 점으로 표시하되, 주어진 두 양의 관계를 확인하는 목적이지 단순히 모양만 보고 답을 정하는 것이 아니라고 정리했다.

두 양의 곱이 일정한지 확인한 뒤, 질문에 맞는 대응값을 찾는다.

조건을 바꾼 독립 적용

힌트 없이 새 문제를 제시했다. 이번에는 48cm의 끈을 같은 길이로 잘라 여러 묶음을 만들고, 묶음 수에 따른 한 묶음의 길이를 설명하는 문제였다. 학생은 먼저 묶음 수를 x, 한 묶음의 길이를 y로 정하고 xy=48이라고 썼다. “묶음 수가 6일 때 길이는?”이라는 질문을 “길이가 8cm가 되려면 몇 묶음인가?”로 바꾸어도 같은 식을 사용할 수 있다고 설명했다.

학생은 6×8=48을 확인한 뒤 8cm라는 답을 적었다. 이어 길이가 8cm일 때 묶음 수를 묻는 방향으로 질문을 바꾸자 48÷8=6이라고 답했다. 표를 먼저 만들지 않고 문장에서 식으로 옮겼지만, 대응하는 두 양의 곱을 기준으로 판단했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

마지막 검증에서는 표와 중간식을 가린 채 “같은 양의 쿠키를 상자에 똑같이 나누어 담는다. 상자 수와 상자 하나에 들어가는 쿠키 수의 관계를 설명하고, 상자가 12개일 때를 구하라”는 문장만 제시했다. 학생은 전체 쿠키 수를 72개로 읽고, 상자 수를 x, 한 상자의 쿠키 수를 y로 정해 xy=72라고 했다.

학생은 12×6=72이므로 한 상자에 6개라고 답했다. 이어 “상자 수가 증가하면 쿠키 수가 감소하는 이유는 무엇인가?”라는 질문에, 전체 쿠키 수가 고정되어 있어 두 수의 곱이 72로 유지되기 때문이라고 설명했다. 처음처럼 앞의 수에서 차이를 빼지 않고, 두 양을 정한 뒤 대응 관계와 곱을 확인하고 원래 조건에 대입해 검산하는 풀이를 스스로 재현했다. 이 과정은 청천동중1수학과외에서 반비례 상황을 표, 식, 문장 사이에서 바꾸어 읽는 연습으로 이어졌다.