청천동 중1수학과외

두 양의 관계를 먼저 확인한 반비례 풀이

청천동과외 수업에서 학생은 청천중학교가 포함된 생활권의 문제 자료를 풀었다. 안내문에는 같은 양의 자료를 여러 묶음으로 나누어 포장할 때, 한 묶음의 수와 묶음마다 들어가는 자료의 수를 정하는 표가 제시되어 있었다.

문제의 조건은 자료 전체가 24개이고, 묶음 수를 눈으로 정하면 한 묶음의 자료 수가 달라진다는 내용이었다. 학생은 표에서 묶음 수가 2일 때 한 묶음에 12개, 3일 때 8개, 4일 때 6개라는 대응값을 확인했다. 그러나 표를 덮고 “묶음 수가 5일 때 몇 개인가?”를 묻자 곧바로 12에서 3을 빼고 9라고 적었다.

오답에서 거꾸로 찾은 첫 판단

계산 결과인 9가 틀렸다고만 지적하지 않고, 학생이 숫자를 적기 직전의 판단을 되짚었다. 학생은 묶음 수와 한 묶음의 자료 수가 함께 커지는지, 하나가 커질 때 다른 하나가 어떻게 변하는지 확인하지 않은 채 앞의 값에서 차이를 빼고 있었다. 즉, 두 양의 관계를 정하지 않고 계산부터 시작한 것이 첫 어긋남이었다.

학생에게 표의 대응값을 다시 읽게 한 뒤, 묶음 수와 한 묶음의 자료 수를 곱해 보도록 했다.

• 2×12=24
• 3×8=24
• 4×6=24

세 경우 모두 곱이 24로 같았다. 그래서 이 문제에서는 한 양이 커질수록 다른 양이 작아지고, 두 양의 곱이 일정하다는 점을 먼저 적었다. 이미 계산한 내용은 버리지 않고, “묶음 수×한 묶음의 자료 수=24”라는 식으로 정리했다. 묶음 수가 5일 때는 5×한 묶음의 자료 수=24이므로 24를 5로 나눈 값이 된다는 이유도 함께 말하게 했다. 정수 묶음이라는 상황에서는 5묶음으로 정확히 나눌 수 없으므로, 문제에서 정수 묶음만 허용하는지 조건을 살펴야 한다는 점까지 확인했다.

표를 문장과 식으로 바꾸어 다시 읽기

다음 문제에서는 표 대신 “일정한 양의 물을 여러 병에 똑같이 나누어 담는다. 병의 수가 늘어나면 한 병에 담기는 양은 줄어든다”라는 문장만 제시했다. 학생은 곧바로 숫자를 계산하지 않고, 병의 수를 x, 한 병의 양을 y로 정했다. 전체 물의 양이 30L라면 x×y=30이라고 식을 세웠다.

이후 문장을 표로 옮겨 병의 수가 1, 2, 3, 5일 때 한 병의 양을 각각 30, 15, 10, 6으로 적었다. 표의 한 줄을 좌표처럼 생각해도 모든 대응값이 같은 곱을 만든다는 점을 설명했다. 그래프를 그릴 때는 각 대응값을 점으로 표시하되, 주어진 두 양의 관계를 확인하는 목적이지 단순히 모양만 보고 답을 정하는 것이 아니라고 정리했다.

두 양의 곱이 일정한지 확인한 뒤, 질문에 맞는 대응값을 찾는다.

조건을 바꾼 독립 적용

힌트 없이 새 문제를 제시했다. 이번에는 48cm의 끈을 같은 길이로 잘라 여러 묶음을 만들고, 묶음 수에 따른 한 묶음의 길이를 설명하는 문제였다. 학생은 먼저 묶음 수를 x, 한 묶음의 길이를 y로 정하고 xy=48이라고 썼다. “묶음 수가 6일 때 길이는?”이라는 질문을 “길이가 8cm가 되려면 몇 묶음인가?”로 바꾸어도 같은 식을 사용할 수 있다고 설명했다.

학생은 6×8=48을 확인한 뒤 8cm라는 답을 적었다. 이어 길이가 8cm일 때 묶음 수를 묻는 방향으로 질문을 바꾸자 48÷8=6이라고 답했다. 표를 먼저 만들지 않고 문장에서 식으로 옮겼지만, 대응하는 두 양의 곱을 기준으로 판단했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

마지막 검증에서는 표와 중간식을 가린 채 “같은 양의 쿠키를 상자에 똑같이 나누어 담는다. 상자 수와 상자 하나에 들어가는 쿠키 수의 관계를 설명하고, 상자가 12개일 때를 구하라”는 문장만 제시했다. 학생은 전체 쿠키 수를 72개로 읽고, 상자 수를 x, 한 상자의 쿠키 수를 y로 정해 xy=72라고 했다.

학생은 12×6=72이므로 한 상자에 6개라고 답했다. 이어 “상자 수가 증가하면 쿠키 수가 감소하는 이유는 무엇인가?”라는 질문에, 전체 쿠키 수가 고정되어 있어 두 수의 곱이 72로 유지되기 때문이라고 설명했다. 처음처럼 앞의 수에서 차이를 빼지 않고, 두 양을 정한 뒤 대응 관계와 곱을 확인하고 원래 조건에 대입해 검산하는 풀이를 스스로 재현했다. 이 과정은 청천동중1수학과외에서 반비례 상황을 표, 식, 문장 사이에서 바꾸어 읽는 연습으로 이어졌다.