부평동 중등수학과외

부평동중등수학과외, 동전과 18칸 회전판에서 전체 경우와 1/36을 확인하는 방법

경우의 수와 확률에서는 숫자를 곱하는 계산보다 먼저, 문제에 적힌 조건이 무엇을 보장하는지 읽는 일이 중요합니다. 앞면과 뒷면이 같은 확률로 나오는 동전 1개와 1부터 18까지의 수가 같은 확률로 나오는 회전판을 서로 독립으로 시행할 때, 기본 문제는 전체 결과의 수를 묻습니다. 동전 결과 2가지와 회전판 결과 18가지를 한 결과로 묶으므로 전체 경우는 2×18=36가지입니다. 이어서 ‘앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률’을 묻는 문제에서는, 36가지 중 원하는 결과가 몇 개인지 판단해야 하며 답은 1/36입니다. 부평동중등수학과외 수업에서는 이처럼 기본 계산을 알고 있는 상태에서도 질문의 대상이 어떻게 바뀌었는지를 표시하며 새 조건을 적용하는 흐름을 살핍니다.

전체 경우는 순서쌍으로 세어 2×18=36가지

동전의 결과를 앞면, 뒷면으로 쓰고 회전판의 결과를 1, 2, 3, …, 18로 씁니다. 한 번의 시행 결과는 ‘앞면과 1’, ‘앞면과 2’처럼 두 결과를 함께 적은 순서쌍입니다. 앞면에 연결되는 회전판 결과가 18가지이고, 뒷면에도 18가지이므로 18+18=36가지입니다. 같은 뜻을 곱셈으로 쓰면 2×18=36입니다. 단계별 나무그림에서는 첫 갈래가 앞면·뒷면 두 개이고, 각 갈래에서 1부터 18까지 18개로 다시 나뉩니다. 중복 체크표에는 앞면-1과 뒷면-1이 서로 다른 결과임을 표시합니다. 따라서 단순히 ‘1부터 18까지 있으니 18가지’라고 세면 동전 결과를 빠뜨리게 됩니다. 반대로 36이라는 수만 적기보다, 각 동전 결과에 회전판 18개가 대응한다는 관계를 설명할 수 있어야 전체 경우를 정확히 센 것입니다.

비교 문제에서는 ‘전체’가 아니라 원하는 한 결과를 찾는다

비교 문제에서도 동전 두 면은 같은 확률이고 회전판의 18개 숫자도 같은 확률이며, 두 시행은 서로 독립이라는 조건은 유지됩니다. 달라지는 점은 구할 대상입니다. 기본 문제는 가능한 모든 순서쌍의 개수 36을 구했지만, 비교 문제는 그중 ‘앞면과 1’이라는 한 순서쌍이 나올 확률을 구합니다. 같은 확률의 36가지 결과 중 유리한 경우는 앞면-1 한 가지이므로 확률은 1/36입니다. 곱셈으로도 P(앞면과 1)=P(앞면)×P(1)=1/2×1/18=1/36입니다. 여기서 곱셈이 가능한 이유는 동전 결과가 회전판 결과를 바꾸지 않는 독립 시행이기 때문입니다. 회전판이 공정하다는 조건 없이 숫자 1의 확률을 1/18로 두거나, 독립 조건 없이 두 확률을 곱하는 것은 문제에 없는 가정을 더하는 판단이 될 수 있습니다.

조건 표시 뒤, 힌트 없이 첫 식을 선택하는지 확인합니다

풀이를 고칠 때에는 두 문제를 나란히 놓고 ‘같은 확률’, ‘서로 독립’, ‘동전 2가지’, ‘회전판 18가지’에는 공통 표시를 하고, 첫 문제의 ‘전체 경우’와 둘째 문제의 ‘앞면과 1이 함께’에는 다른 표시를 합니다. “회전판 결과와 동전 결과는 서로 독립인가요?”라는 짧은 질문으로 곱셈의 근거를 확인하되, 비교 문제를 혼자 풀기 전에는 답이나 식을 먼저 제시하지 않습니다. 이후 학생이 스스로 2×18로 전체 경우를 정리한 뒤, 원하는 경우가 1개임을 골라 1/36을 쓸 수 있는지 봅니다. 검산은 1/36이 0보다 크고 1보다 작은 확률인지, 또 36개의 같은 확률 결과 가운데 한 결과를 고른 분수인지로 확인합니다. 다음 단계에서는 기본 문제와 비교 문제에서 달라진 질문이 무엇인지, 독립이라는 조건이 왜 필요한지 근거를 말하고 첫 식을 스스로 선택하는지를 확인합니다.