연제구 중등수학과외

연제구중등수학과외, 이등변삼각형 밑각 65°의 근거를 조건으로 확인하기

이등변삼각형 ABC에서 AB=AC, ∠A=50°일 때 나머지 두 각을 구하는 문제는 계산만으로 끝나지 않습니다. 그림이 좌우로 비슷해 보인다는 인상 대신, AB와 AC의 길이가 같다는 조건에서 두 밑각이 같다는 성질을 끌어내야 합니다. 연제구중등수학과외에서는 길이가 같다는 조건을 쓰지 않고 밑각이 같다고 적는 상황을, 정답만 고치는 방식이 아니라 증명 근거를 다시 연결하는 과정으로 다룹니다.

AB=AC가 왜 두 밑각의 출발점이 되는가

먼저 조건·근거·결론을 나누어 적습니다. 조건은 AB=AC와 ∠A=50°이고, 구할 것은 ∠B와 ∠C의 크기입니다. AB=AC이므로 삼각형 ABC는 이등변삼각형이며, 같은 길이의 두 변에 마주 보는 각이 같습니다. 따라서 ∠B=∠C라고 쓸 수 있습니다. 여기서 “밑각이 같다”는 문장 옆에는 반드시 “AB=AC인 이등변삼각형의 밑각”이라는 근거를 붙입니다. 그림의 모양은 보조 자료일 뿐, 각의 크기를 확정하는 조건은 아닙니다.

∠B=∠C=x라고 두면 삼각형의 내각의 합에 따라 50°+x+x=180°입니다. 2x=130°이므로 x=65°이고, ∠B=65°, ∠C=65°입니다. 확인도 같은 성질로 합니다. 50°+65°+65°=180°이므로 세 내각의 합이 맞고, 두 밑각도 같은 값입니다. 만약 “길이가 같아 보여서 ∠B=∠C”라고만 적었다면 결론은 우연히 맞아도 증명으로는 부족합니다. 어느 조건이 그 결론을 가능하게 했는지 표시하도록 풀이를 고칩니다.

조건을 지우면 그림은 같아도 결론은 달라진다

비교 문제에서는 ‘이등변삼각형’이라는 설명과 AB=AC 표시, 두 변이 같음을 나타내는 눈금을 모두 없앱니다. 꼭짓점 이름과 ∠A의 크기만 주어지고, 그림의 모양은 길이나 각의 같음을 보장하지 않는다고 가정합니다.

다음에는 AB=AC라는 조건만 삭제하고 그림은 그대로 둡니다. 이때 ∠A=50°라는 정보와 그림의 생김새만으로는 ∠B와 ∠C가 같다고 확정할 수 없습니다. 두 각의 합은 130°라는 관계만 알 수 있을 뿐, 예를 들어 한 각이 60°이고 다른 각이 70°인 경우도 내각의 합에는 맞습니다. 따라서 밑각이 각각 65°라고 결론 내릴 근거도 사라집니다.

이 비교는 앞 문제의 답을 부정하려는 것이 아닙니다. 앞 문제에서는 AB=AC가 있었기에 ∠B=∠C를 세울 수 있었고, 지금은 그 조건이 없으므로 같은 식을 시작할 수 없다는 점을 확인하는 것입니다. 혼자 푸는 단계에서는 먼저 답을 알려 주지 않고, 주어진 조건과 결론 사이에 연결할 성질이 있는지 살피게 합니다. “조건을 지운 뒤에도 같은 결론을 쓸 수 있나요?”라는 질문에 그림이 아니라 삭제된 AB=AC를 짚어 낸다면, 무엇을 근거로 삼아야 하는지 확인할 수 있습니다.

수정한 줄과 이유를 남겨 다음 판단을 확인한다

풀이에는 처음에 적었던 “∠B=∠C” 옆에 왜 수정했는지 남깁니다. 기본 문제에서는 “AB=AC이므로 이등변삼각형의 밑각 ∠B와 ∠C는 같다”로 고치고, 조건을 삭제한 문제에서는 “밑각이 같다는 근거 없음”이라고 적습니다. 이렇게 두 줄을 나란히 보면 같은 그림이라도 조건의 유무에 따라 사용할 수 있는 성질이 달라진다는 점이 드러납니다.

다음 확인에서는 두 문제의 정답만 맞혔는지보다, AB=AC에 표시를 하고 그 표시를 밑각의 근거로 말하는지 살핍니다. 기본 문제에서 50°+65°+65°=180°을 직접 확인하고, 비교 문제에서는 65°와 65°를 임의로 쓰지 않는지 봅니다. 질문을 들은 뒤에만 판단하는지, 조건을 읽고 스스로 근거를 적는지도 구분해 기록하면 다음 수업에서 필요한 도움의 정도를 정하는 데 도움이 됩니다.