동래구 중3수학과외
동래구 중3수학과외에서 살펴본 전개식의 일차항
동래구과외 수업에서 다항식의 곱셈을 연습하던 중, 학생이 적어 온 풀이 한 줄에서 오류의 시작점을 찾았습니다. 동래동일스위트와 부산광역시립명장도서관 인근 생활권, 여명중학교가 포함된 지역에서 중3수학을 공부할 때도 전개식은 계산 속도보다 각 항을 빠짐없이 확인하는 과정이 중요합니다. 이번 시간의 범위는 (x+a)(x+b)를 전개할 때 일차항의 계수를 확인하는 것으로 한정했습니다.
계산보다 먼저 보였던 한 줄
문제는 다음과 같았습니다.
(x+4)(x-7)을 전개하시오.
학생은 괄호 안의 수를 먼저 보고 “상수항은 4와 -7을 곱해서 -28”이라고 적었습니다. 여기까지는 맞았습니다. 이어서 다음처럼 풀이를 시작했습니다.
(x+4)(x-7)
= x² - 7x + 4x - 28
= x² - 3x - 28
그런데 이 풀이를 쓰기 전, 학생이 말한 판단은 “앞의 x와 뒤의 -7만 먼저 곱하면 되니 일차항은 -7x로 정해진다”였습니다. 실제로는 뒤의 4와 앞의 x가 만드는 4x도 일차항에 들어갑니다. 최종 계산에서 -7x와 4x를 합친 것은 맞았지만, 그 전에 곱해지는 항을 하나 빠뜨린 채 전개를 시작하려 했던 것이 가장 먼저 어긋난 판단이었습니다.
빠진 곱을 다시 보이기
이때 풀이 전체를 다시 외우게 하지 않고, 빠진 항을 확인하는 행동 하나만 바꾸었습니다. 두 괄호의 항을 한 번씩 짝지어 적도록 했습니다.
- x와 x의 곱: x²
- x와 -7의 곱: -7x
- 4와 x의 곱: 4x
- 4와 -7의 곱: -28
따라서 전개식은
x²-7x+4x-28=x²-3x-28
이 됩니다. 학생이 이미 정확하게 계산한 상수항 -28과 동류항 계산은 그대로 유지했습니다. 바꾼 것은 계산 전에 네 항의 곱을 모두 적는 한 가지뿐입니다. 이 목록을 쓰면 일차항은 한 항만 보고 정하는 것이 아니라, x를 포함한 두 곱 -7x와 4x를 합쳐서 확인한다는 기준이 분명해집니다.
모양을 바꾼 새 전개 문제
같은 기준을 다른 모양에서도 적용할 수 있는지 확인하기 위해 식을 바꾸었습니다.
(2x-3)(x+5)를 전개한 뒤, x의 계수만 말하시오.
이번에는 첫 번째 괄호의 x 앞 계수가 2이고, 두 상수의 부호도 서로 다릅니다. 학생은 곧바로 답을 쓰지 않고 다음처럼 항별 곱을 배열했습니다.
- 2x·x=2x²
- 2x·5=10x
- -3·x=-3x
- -3·5=-15
그러므로
2x²+10x-3x-15=2x²+7x-15
이고 x의 계수는 7입니다. 앞의 문제처럼 괄호가 x+상수의 모양이라고만 생각하지 않고, 계수와 부호가 포함된 각 항을 모두 짝지은 점이 핵심입니다. 식의 모양과 질문이 달라져도 ‘일차항을 만드는 두 곱을 확인한다’는 기준은 그대로 유지됩니다.
힌트 없이 확인한 마지막 풀이
며칠 뒤에는 다음 문제를 별도의 표시나 질문 없이 제시했습니다.
(3x+2)(2-x)를 전개하시오.
학생은 먼저 네 곱을 스스로 적었습니다.
3x·2=6x, 3x·(-x)=-3x²,
2·2=4, 2·(-x)=-2x
그 뒤 항의 차수를 보기 좋게 정리하여
-3x²+6x-2x+4=-3x²+4x+4
라고 답했습니다. 특히 일차항을 6x 하나로 판단하지 않고 6x와 -2x를 함께 계산해 4x를 얻었습니다.
마지막으로 힌트 없이 식에 같은 값을 대입해 전개 전후를 비교했습니다. x=1일 때 원래 식은 (3+2)(2-1)=5이고, 전개식은 -3+4+4=5입니다. x=-2일 때도 원래 식은 (-6+2)(2+2)=-16, 전개식은 -12-8+4=-16으로 같았습니다. 전개 전후의 값이 일치하므로 각 항의 곱과 일차항 계수를 제대로 확인했다는 근거까지 스스로 설명했습니다. 이런 방식의 동래구중3수학과외에서는 맞힌 답보다, 일차항이 어디에서 생겼는지 끝까지 추적하는 풀이 기록을 남깁니다.