동래구 고등수학과외
동래구 고등수학과외에서는 역함수 문제를 공식 암기보다 ‘역함수가 가능한가’를 먼저 판정하는 훈련으로 시작한다. 부산중앙여자고등학교와 동래고등학교 학생들이 자주 마주하는 함수 단원에서도 식을 뒤집는 계산보다 원함수의 대응 관계를 확인하는 과정이 먼저 놓여야 한다. 명장삼성타운과 동래동일스위트 생활권에서 수업할 때는 부산광역시립명장도서관에서 정리한 풀이를 다시 펼쳐 보며, 답을 구하기 전 조건을 읽었는지 점검한다.
식보다 먼저 확인하는 역함수의 자격
학생에게 f(x)=x²-9x+1을 제시하고 역함수를 구해 보라고 하면, 곧바로 y=x²-9x+1에서 x와 y를 바꾼 뒤 근의 공식을 적용하려는 경우가 많다. 그러나 이 함수는 실수 전체에서 일대일 대응이 아니다. 그래프는 위로 열린 포물선이고, 꼭짓점의 x좌표는 9/2이다. x=4와 x=5를 대입하면 각각 -19와 -19가 나오므로 서로 다른 두 입력이 같은 출력으로 간다.
학생은 처음에 “제곱근을 하나만 택하면 역함수가 된다”고 적었다. 바로 이 지점이 첫 오류다. 제곱근의 부호를 정하는 일은 정의역을 제한한 뒤의 문제이며, 그 전에 원함수가 일대일인지 확인해야 한다. 수평선 y=-19를 그어 보면 그래프와 두 점에서 만나므로 수평선 검사를 식의 조건으로 연결할 수 있다. 모든 수평선이 그래프와 최대 한 번만 만나야 역함수가 함수로 존재한다.
틀린 결론을 거꾸로 추적하기
학생은 자신이 적은 역함수 후보를 보고 원래 식에 대입해 보았다. 원함수의 출력 -19에 대응하는 입력이 4와 5로 나뉘므로, 하나의 출력에 하나의 입력만 대응해야 한다는 조건이 깨진다는 사실이 드러났다. 그제야 풀이 첫 줄에 ‘정의역과 공역에서 일대일 대응인지 확인한다’고 다시 적었다.
교정할 때는 계산을 앞에서 뒤로 진행하지 않고, 결론에서 조건을 역순으로 확인하게 했다. 역함수가 함수라면 같은 함수값을 만드는 두 입력이 없어야 한다. 그런데 f(4)=f(5)=-19이므로 실수 전체에서는 역함수가 존재하지 않는다. 그래프에서는 꼭짓점 왼쪽에서 감소하고 오른쪽에서 증가하는 변화가 한 식 안에 함께 있기 때문에, 수평선 검사의 실패도 같은 결론을 보여 준다.
역함수 계산을 시작하기 전에 “서로 다른 x가 같은 y를 만들 수 있는가?”를 먼저 묻는다.
정의역을 바꾸면 판단도 달라진다
다음에는 단서를 가린 채 같은 식을 주고 정의역을 x≥9/2로 바꾸었다. 학생은 이번에는 꼭짓점 오른쪽 구간에서 함수가 계속 증가한다는 점을 이용해 일대일 대응임을 스스로 설명했다. 식을 정리하면 y=(x-9/2)²-77/4이므로, 제한된 구간에서는 양의 제곱근을 택해 x=9/2+√(y+77/4)로 쓸 수 있다. 역함수의 정의역은 원함수의 치역인 y≥-77/4가 된다.
조건을 x≤9/2로 바꾸었을 때는 음의 제곱근을 선택해야 한다. 같은 이차식이라도 정의역에 따라 역함수의 식이 달라지는 이유를 학생이 직접 비교하도록 했다. 이후 새로운 수치의 이차함수를 따로 제시하지 않고, 원래 식의 구간과 부호만 바꿔 혼자 판단하게 하여 ‘공식 선택’이 아닌 ‘일대일 여부 확인’으로 접근하는지 살폈다.
합성으로 끝내는 최종 검산
구한 후보가 맞는지 확인할 때는 원함수와 역함수를 합성한다. 정의역을 x≥9/2로 제한한 경우 역함수 후보를 g(x)=9/2+√(x+77/4)로 두면, f(g(x))=x가 된다. 반대로 g(f(x))=x도 제한된 정의역에서 성립한다. 제곱근 앞의 부호를 잘못 고르면 이 합성 결과가 원래 x로 돌아오지 않거나 다른 구간의 값이 되므로, 계산 결과만 보지 않고 적용 가능한 정의역까지 함께 확인한다.
자주 묻는 내용
역함수는 식을 뒤집으면 항상 구할 수 있나요?
아니다. 원함수가 일대일이어야 하며, 그렇지 않으면 정의역 제한이 필요하다.
수평선 검사는 무엇을 확인하나요?
하나의 y값에 대응하는 x값이 최대 하나인지 그래프로 확인하는 방법이다.
이차함수는 모두 역함수가 없나요?
실수 전체에서는 일반적으로 일대일이 아니지만, 꼭짓점 한쪽으로 정의역을 제한하면 역함수를 만들 수 있다.
제곱근의 부호는 어떻게 정하나요?
제한한 정의역이 꼭짓점의 왼쪽인지 오른쪽인지에 따라 결정하며, 원함수의 구간과 일치해야 한다.
마지막에 무엇을 검산하나요?
원함수와 후보 역함수를 합성해 항등함수가 되는지, 그리고 그 결과가 해당 정의역에서 유효한지 확인한다.