동래구 고3수학과외

코사인법칙에서 먼저 걸러야 할 조건

부산광역시립명장도서관에서 기출 풀이를 정리하던 학생은 해설을 가린 채 다음 문제를 다시 풀었다. 두 변의 길이가 5, 7이고 그 끼인각이 0<θ<π일 때, 맞은편 변의 길이를 x라 하자. x가 정수가 되는 경우를 묻는 문제였다. 학생은 곧바로 코사인법칙을 적었다.

x²=5²+7²-2·5·7cosθ

식 자체는 맞았지만, 처음에는 θ의 범위를 표시하지 않은 채 x의 후보를 계산했다. 그 결과 삼각형이 될 수 없는 값까지 후보표에 남겼다. 식을 세운 근거도 “두 변과 끼인각이 주어졌기 때문”이라고만 답해, 어떤 변이 θ의 맞은편에 놓이는지 설명하지 못했다. 동래구과외 수업에서 풀이를 다시 펼쳤을 때도 계산보다 조건 표시가 먼저 이루어져야 한다는 점이 드러났다.

식보다 먼저 확인한 그림의 역할

학생은 같은 문제를 다시 그리면서 θ의 맞은편 변을 x로 표시했다. 이어 첫 줄에 ‘θ가 삼각형의 내각이므로 0<θ<π’라고 적었다. 이 조건에서 -1<cosθ<1이므로

-1<(74-x²)/70<1

을 얻는다. 양변에 70을 곱하고 정리하면 4<x²<144, 따라서 2<x<12이다. 이제 정수 조건을 함께 적용하면 x=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11만 남는다. 학생은 이 범위를 구한 뒤에야 각 후보를 살폈다. 예를 들어 x=2는 세 변 5, 7, 2가 직선을 이루므로 제외되고, x=12도 마찬가지로 경계에 해당한다.

처음의 오류는 코사인법칙 계산이 아니라 각의 범위를 식에 반영하지 않은 것이었다. 학생은 조건을 모두 한꺼번에 외우려 하지 않고, 누락된 조건 하나만 첫 식 옆에 복원했다. 그다음 계산은 처음 풀이와 동일하게 이어 갔다. 또한 x를 맞은편 변으로 적고, 5와 7은 θ에 붙어 있는 두 변이라고 구분해 두었다. 이 표시 덕분에 변의 위치를 바꾸어 식을 잘못 쓰는 문제도 함께 막을 수 있었다.

정수 조건과 각의 조건을 분리한 변형

수치를 그대로 바꾼 문제가 아니라, 문제의 요구를 바꾼 변형을 제시했다. 두 변의 길이가 6, 8이고 맞은편 변의 길이를 n이라 할 때, n이 정수이고 끼인각 θ가 60°보다 크며 120°보다 작다고 하자. 학생은 먼저

n²=6²+8²-96cosθ=100-96cosθ

를 적고, 이번에는 각의 범위를 곧바로 표시했다. 60°<θ<120°이면 -1/2<cosθ<1/2이므로

52<n²<148

가 된다. 따라서 정수 후보는 n=8, 9, 10, 11, 12이다. 여기서 n=8은 cosθ=1/6으로 범위에 들어가고, n=10은 cosθ=0이므로 θ=90°라서 제외된다. n=12는 cosθ=-11/24로 가능하지만, n=9와 n=11도 각각 원래 식에 대입해 각의 범위를 확인해야 한다. 학생은 정수라는 조건만으로 후보를 확정하지 않고, 각의 조건과 함수값의 범위를 따로 대조했다.

이번 변형에서 바뀐 것은 숫자가 아니라 조건의 위치였다. 각의 범위가 0과 π 전체가 아니므로 단순히 삼각형 부등식만 사용하는 방식으로는 충분하지 않았다. 부산고3수학과외에서 이 장면을 점검할 때도 학생은 “정수 조건은 후보를 만드는 조건이고, 각의 범위는 후보를 제거하는 조건”이라고 설명했다.

해설 없는 새 문항에서 남은 판단

마지막에는 변의 길이를 문자로 바꾼 문제를 풀게 했다. 두 변이 p, q이고 맞은편 변이 r일 때, 끼인각이 α이며 30°<α<150°라고 주어진 상황이었다. 학생은 숫자를 대입하려 하지 않고 먼저

r²=p²+q²-2pqcosα

를 적었다. 이어 “r은 α의 맞은편 변이므로 코사인법칙의 마지막 항에 p와 q가 곱해진다”고 첫 식의 근거를 한 문장으로 설명했다. α의 범위에서 cosα의 범위를 구한 뒤 r의 가능한 구간을 만들고, 정수 조건이 제시되자 그 안의 후보만 남겼다.

학생은 후보 하나를 고를 때마다 원래 식으로 돌아가 cosα를 계산했다. 계산된 값이 -1과 1 사이인지, 다시 얻은 α가 30°와 150° 사이인지 확인했으며, 경계값을 포함하지 않는다는 점도 별도로 표시했다. 마지막으로 삼각형 부등식과 비교해 계산 결과가 실제 삼각형의 세 변과 맞는지 살폈다. 조건을 빠뜨린 채 후보를 늘리던 처음의 습관은 새 문항에서도 나타나지 않았고, 맞은편 변 표시와 각의 범위 확인이 해설 없이도 먼저 나왔다. 부산고3수학과외에서 확인한 변화는 답 자체보다, 후보를 남기고 버리는 이유를 끝까지 기록하는 판단이었다.