덕천동 중3수학과외
덕천동 중3수학과외에서 확인한 공통인수의 기준
덕천주공2단지와 덕천도서관이 있는 생활권에서 중3 수학 풀이를 살펴보던 중, 한 학생의 오답노트에서 인수분해 과정이 멈춘 지점을 발견했습니다. 덕천중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 유형이지만, 이번 학습의 범위는 넓히지 않고 공통인수를 먼저 묶어 인수분해하는 판단 하나에만 집중했습니다.
나란히 놓인 두 표현
문제는 다음 식을 인수분해하는 것이었습니다.
6x² - 9x + 12x - 18
학생은 오답노트를 다시 보며 항의 순서를 그대로 따라 적었습니다.
6x² - 9x + 12x - 18
= 3x(2x - 3) + 6(2x - 3)
= (3x + 6)(2x - 3)
이 계산은 맞았습니다. 그런데 바로 아래에 비슷한 모양의 풀이를 적을 때 문제가 생겼습니다.
15a - 10a² + 6a - 4a²
= 5a(3 - 2a) + 2a(3 - 2a)
= 7a(3 - 2a)
학생은 두 항에서 공통으로 보이는 부분을 빠르게 찾았지만, 마지막에 인수끼리 곱해야 한다는 구조를 놓치고 5a와 2a를 더한 뒤 괄호를 한 번만 남겼습니다. 처음 틀어진 판단은 계산 결과가 아니라, 각 항을 같은 공통인수와 나머지의 곱으로 확인하지 않은 것이었습니다.
먼저 확인할 두 가지
공통인수를 묶을 때는 식의 모양이 달라도 각 항에서 같은 부분이 실제로 빠졌는지 확인해야 합니다. 첫 번째 식에서는
- 6x² - 9x = 3x(2x - 3)
- 12x - 18 = 6(2x - 3)
처럼 두 묶음의 뒤 괄호가 같았습니다. 따라서 두 묶음을 합치면 (2x - 3)(3x + 6)이 됩니다. 괄호 앞의 3x와 6은 더해지는 것이 아니라 같은 괄호에 각각 곱해져 있으므로, 곱셈 형태를 유지해야 합니다.
두 번째 식에서는 먼저 항의 순서를 바꾸어도 같은 식이라는 점을 이용해 구조를 다시 보았습니다.
15a - 10a² + 6a - 4a²
= (-10a² - 4a²) + (15a + 6a)
= -2a(5a + 2) + 3(5a + 2)
이제 공통으로 남은 괄호는 (5a + 2)이고, 앞부분은 -2a와 3입니다. 따라서
(-2a + 3)(5a + 2)
가 됩니다. 앞선 풀이에서 이미 맞았던 식을 전부 버리는 대신, 공통 괄호를 확인한 뒤 앞의 인수들이 곱셈으로 연결된다는 한 행동만 고쳤습니다. 실제로 전개하면
(-2a + 3)(5a + 2)
= -10a² - 4a + 15a + 6
= -10a² + 11a + 6
이고, 원래 식도 항을 정리하면 -14a² + 21a가 아니라? 라고 혼동하기 쉽습니다. 따라서 이 식은 처음부터 다시 묶음이 맞는지 확인해야 합니다. 실제 원식은 -10a² - 4a² + 15a + 6a이므로 -14a² + 21a이고, 위의 묶음은 원식을 잘못 바꾼 것입니다. 이 지점에서 학생은 항을 바꾸는 것만으로 계수까지 바꿀 수 없다는 사실을 확인했습니다. 올바른 처리는 다음과 같습니다.
15a - 10a² + 6a - 4a²
= -10a² - 4a² + 15a + 6a
= -2a(5a + 2a) + 3(5a + 2a)
여기서는 같은 괄호가 만들어지지 않으므로, 이 식은 해당 방식으로 바로 묶을 수 없습니다. 학생이 처음 고쳐야 할 기준은 “비슷해 보이는 괄호”가 아니라 각 항을 실제로 나눈 뒤 남는 표현이 같은가였습니다.
표현을 바꾼 독립 연습
다음에는 항의 배열 대신 표처럼 주어진 식을 보고 공통인수를 판단했습니다.
- 첫 번째 묶음: 8p² + 12p
- 두 번째 묶음: -10p - 15
두 묶음을 각각 인수분해한 뒤 같은 괄호가 생기는지 확인하는 문제입니다.
8p² + 12p - 10p - 15
학생은 첫 묶음에서 4p를 묶어 4p(2p + 3), 두 번째 묶음에서 -5를 묶어 -5(2p + 3)으로 적었습니다. 따라서 결과는
(4p - 5)(2p + 3)
입니다. 이번에는 앞의 인수 4p와 -5를 더해 버리지 않고, 공통 괄호에 곱해지는 구조를 유지했습니다. 식의 항 순서와 부호가 달라졌지만, 판단 기준은 각 항에서 공통 부분을 뺀 뒤 남는 표현이 같은지 확인하는 것이었습니다.
힌트 없이 다시 확인한 기록
마지막에는 도움 없이 다음 식을 제시했습니다.
-14y² + 21y - 8y + 12
학생은 먼저 앞의 두 항과 뒤의 두 항을 묶어
-7y(2y - 3) - 4(2y - 3)
라고 적었습니다. 이어서 공통 괄호를 한 번만 남기고 앞의 인수들을 묶어
(-7y - 4)(2y - 3)
를 얻었습니다. 마지막으로 다시 전개하여
(-7y - 4)(2y - 3)
= -14y² + 21y - 8y + 12
가 원식과 정확히 같은지 스스로 대조했습니다. 덕천동과외 수업에서 확인한 변화는 많은 풀이법을 추가한 것이 아니라, 공통인수를 선택한 뒤 각 항의 나머지 표현과 전개 결과를 확인하는 한 기준을 끝까지 유지한 점입니다. 이런 방식의 덕천동중3수학과외에서는 표현이 바뀌어도 공통인수와 곱셈 구조를 스스로 검증하는 풀이를 남기게 됩니다.