덕천동 고1수학과외
덕천동 고1수학과외: 순열의 계산에서 조건을 놓치지 않는 경우 분류
순열 문제를 풀던 학생은 다섯 명 중 세 명을 회장·부회장·총무로 뽑는 상황에서 조건을 식에 반영하지 못했다. A는 반드시 포함하고 B와 C는 함께 뽑을 수 없다는 조건이었지만, 전체 선택과 배열만 계산해 조건에 맞지 않는 경우까지 답에 넣었다.
조건이 바뀌는 지점을 나누어 세기
풀이를 다시 시작할 때 A의 포함 여부가 아니라, 조건을 직접 반영할 수 있도록 A가 포함되는 경우와 포함되지 않는 경우를 나누었다. A가 포함되면 나머지는 D와 E로 정해져 세 명의 배열은 3! = 6가지다. A가 포함되지 않으면 B, C, D, E 중 세 명을 골라야 하며 B와 C가 함께 들어가는 선택을 제외하면 선택은 2가지다. 각각 세 자리 순열로 배열하므로 2×3! = 12가지이다.
전체 경우의 수는 6+12=18가지이다.
학생은 각 경우에 어떤 조건을 사용했는지 옆에 짧게 표시했다. 그 결과 단순히 5명 중 3명을 고른 뒤 3!을 곱하는 방식이 조건을 무시한다는 점을 확인했다.
자리 수와 조건의 역할을 바꾼 적용
이후에는 네 명 중 두 명을 회장과 부회장으로 정하는 문제를 제시했다. A는 반드시 포함하고 C와 D는 동시에 뽑지 않는다는 조건이었다. A와 짝을 이룰 수 있는 사람은 B, C, D 모두 가능하므로 선택은 3가지이고, 두 직책에 배치하는 순서는 2가지다. 따라서 경우의 수는 3×2=6가지로 계산했다.
새 문제에서의 독립 검증
마지막에는 사람을 먼저 고르지 않고 회장 자리를 정하는 방식으로 다시 확인했다. 회장 자리에 A가 놓이는 경우는 3가지, 부회장 자리에 A가 놓이는 경우도 3가지여서 총 6가지가 된다. 앞서 구한 값과 일치하므로 조건을 반영한 순열 계산이 맞는지 다른 순서로 검증할 수 있었다.
덕천도서관 인근 학습 사례에서도 학생은 답만 빠르게 정하기보다, 경우가 나뉘는 기준과 조건이 적용된 위치를 풀이에 남기는 연습을 이어 갔다.