덕천동 고2수학과외







접선의 방정식에서 시작된 한 줄의 오류
함수 \(y=x^2\)의 그래프 위 점 \((-1,1)\)에서의 접선 방정식을 구해 보자. 미분하면 기울기는 \(y'=2x\)이므로 접점에서의 기울기는 \(m=-2\)이다.
잘못된 식이 만들어진 순간
학생은 점-기울기식 \(y-y_1=m(x-x_1)\)에 \((x_1,y_1)=(-1,1)\)을 대입하면서 다음과 같이 적었다.
\[ y-1=-2(x-1) \]
오른쪽 괄호의 \(x_1\)을 \(-1\)이 아니라 \(1\)로 바꿔 넣은 것이 오류였다. 좌표의 부호를 그대로 보존하지 못한 것이다.
좌표와 식의 순서 맞추기
점-기울기식의 고정 규칙
점-기울기식은 항상 현재 변수에서 접점의 좌표를 빼는 형태로 쓴다.
\[ y-y_1=m(x-x_1) \]
따라서 접점이 \((-1,1)\)이면
\[ y-1=-2\{x-(-1)\}=-2(x+1) \]
처럼 작성해야 한다. 괄호 안의 \(x-(-1)\)이 \(x+1\)로 바뀌는 과정에서 접점의 음수 부호가 사라지지 않도록 확인해야 한다.
교정한 풀이와 검산
식을 정리하면
\[ y-1=-2x-2,\qquad y=-2x-1 \]
이 직선이 접점 \((-1,1)\)을 지나는지 대입하면 \(1=2-1\)로 성립한다. 또한 기울기는 \(-2\)이므로 미분으로 구한 접선의 기울기와도 일치한다.
부호 실수를 줄이는 판단 기준
접점의 \(x\)좌표가 음수일 때는 \(x-x_1\)을 먼저 적은 뒤 숫자를 대입하는 것이 안전하다. 즉, \(x-(-1)\)을 거쳐 \(x+1\)로 바꾸면 \(x+x_1\)처럼 좌표를 임의로 바꾸는 실수를 막을 수 있다.
이와 같은 식의 첫 판단을 차분히 점검하는 연습은 덕천동과외에서 접선의 방정식을 다룰 때도 중요한 기준이 된다.