LearnMap

덕천동 고2수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

접선의 방정식에서 시작된 한 줄의 오류

함수 \(y=x^2\)의 그래프 위 점 \((-1,1)\)에서의 접선 방정식을 구해 보자. 미분하면 기울기는 \(y'=2x\)이므로 접점에서의 기울기는 \(m=-2\)이다.

잘못된 식이 만들어진 순간

학생은 점-기울기식 \(y-y_1=m(x-x_1)\)에 \((x_1,y_1)=(-1,1)\)을 대입하면서 다음과 같이 적었다.

\[ y-1=-2(x-1) \]

오른쪽 괄호의 \(x_1\)을 \(-1\)이 아니라 \(1\)로 바꿔 넣은 것이 오류였다. 좌표의 부호를 그대로 보존하지 못한 것이다.

좌표와 식의 순서 맞추기

점-기울기식의 고정 규칙

점-기울기식은 항상 현재 변수에서 접점의 좌표를 빼는 형태로 쓴다.

\[ y-y_1=m(x-x_1) \]

따라서 접점이 \((-1,1)\)이면

\[ y-1=-2\{x-(-1)\}=-2(x+1) \]

처럼 작성해야 한다. 괄호 안의 \(x-(-1)\)이 \(x+1\)로 바뀌는 과정에서 접점의 음수 부호가 사라지지 않도록 확인해야 한다.

교정한 풀이와 검산

식을 정리하면

\[ y-1=-2x-2,\qquad y=-2x-1 \]

이 직선이 접점 \((-1,1)\)을 지나는지 대입하면 \(1=2-1\)로 성립한다. 또한 기울기는 \(-2\)이므로 미분으로 구한 접선의 기울기와도 일치한다.

부호 실수를 줄이는 판단 기준

접점의 \(x\)좌표가 음수일 때는 \(x-x_1\)을 먼저 적은 뒤 숫자를 대입하는 것이 안전하다. 즉, \(x-(-1)\)을 거쳐 \(x+1\)로 바꾸면 \(x+x_1\)처럼 좌표를 임의로 바꾸는 실수를 막을 수 있다.

이와 같은 식의 첫 판단을 차분히 점검하는 연습은 덕천동과외에서 접선의 방정식을 다룰 때도 중요한 기준이 된다.

덕천동 고2수학과외 학부모 후기

방학 중 평일 오전, 책상 위 시험지를 정리하다가 한쪽에 문제 번호만 따로 모아 둔 걸 보게 됐어요. 그냥 틀린 문제를 표시한 줄 알았는데, 마지막에 검산할 것들만 골라 적어 둔 모양이더라고요. 덕천동 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로, 이런 식으로 시험지를 보는 모습이 낯설었습니다. 예전에는 오답을 고칠 때 어디서 계산이 어긋났는지보다 맨 끝에 나온 답부터 확인하곤 했거든요. 그런데 이번엔 번호를 먼저 추려 놓고, 계산 과정을 다시 살펴볼 순서를 정해 둔 듯했어요. 답을 맞혔는지만 보는 것과는 눈길이 조금 달라 보였습니다. 주말에 교과서 다음 단원을 복습할 때도 비슷한 장면이 나왔습니다. 문제를 풀고 나서 검산할 번호를 따로 적었고, 옆에는 확인한 까닭을 짧게 한두 단어로 남겨 두었어요. 시험지에서만 하던 표시가 아니라 교과서 문제를 볼 때도 그대로 이어진 셈이었습니다.

★★★★★학부모 후기

방학 중 다른 교재를 펼쳐 둔 오전에도 아이는 답을 쓴 뒤 바로 다음 문제로 넘어가지 않았어요. 문제에서 요구한 범위나 조건이 빠진 건 없는지 한 번 더 살펴보고, 필요한 부분에만 간단히 흔적을 남기더라고요. 예예전에는 문제집에 남은 표시도 맞혔는지 틀렸는지 확인하는 데 치우쳐 있었는데, 답 자체만 보는 모습과는 조금 달랐습니다. 학교에서 돌아와 책상을 펴던 날에는 제가 먼저 묻기도 전에 문제를 풀고 나서 답보다 단위나 범위를 다시 확인하고 있더라고요. 덕천동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 인상적이었는데, 특별히 말을 꺼내지 않아도 문제의 조건을 다시 짚는 모습이 눈에 띄었습니다. 마지막에는 필요한 표시만 남긴 채 교재를 정리했어요.

★★★★★학부모 후기

예전에는 숙제를 시작해도 오늘 얼마나 풀지 정하지 않아 한참을 망설였는데, 덕천동에서 수업을 받은 뒤에는 선생님과 정한 문제 수만큼 먼저 해 보게 됐습니다. 풀이가 틀려도 지우지 않고 다시 살펴보며 복습하고, 집중이 흐트러질 때는 선생님이 다른 문제로 바꿔 주셔서 부담 없이 이어 갈 수 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

덕천동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 수업 전에 막혔던 문제를 골라 선생님께 먼저 물어보는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 그날 컨디션과 시험 일정을 살펴 무리하지 않을 만큼 숙제를 나누고, 질문에도 편안하게 답해 주셨습니다. 예전에는 숙제가 밀리면 손을 놓았지만 이제는 할 수 있는 것부터 다시 시작해 부모로서 안심이 됩니다.

★★★★★학부모 후기

수업을 마친 뒤 아이가 틀린 문제뿐 아니라 맞힌 문제의 풀이도 다시 살펴보는 모습이 보여 부모로서 반갑게 느껴졌습니다. 덕천동에서 과외를 시작할 때만 해도 집중이 자주 끊기고 쉬운 문제도 자신 없어 숙제를 미루곤 했지만, 선생님은 방학 첫 주 계획을 함께 세우며 질문할 내용을 미리 준비하게 도와주셨습니다. 진도와 숙제량은 아이의 부담을 살펴 조절하고 부모에게도 꼼꼼히 알려주셔서, 이제는 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 구분하며 조금씩 스스로 복습합니다.

★★★★★학부모 후기