인천문학동 중1수학과외

표의 대응값에서 정비례 관계를 찾아가는 과정

문제에는 물건 2개의 가격이 3,000원이고, 4개와 6개의 가격을 표에 채우라는 조건이 제시되었다.

표에 적힌 숫자보다 먼저 확인할 것

학생은 표의 개수 칸에 2, 4, 6을 적고 가격 칸에는 3,000, 6,000, 9,000을 차례로 기록했다. 이어서 “개수가 두 배가 되면 가격도 두 배가 된다”고 말하며 정답을 골랐다. 그런데 이어진 질문은 개수가 5개일 때의 가격을 묻고 있었고, 학생은 7,500원이 아니라 8,000원을 적었다.

오류를 거꾸로 따라가 보니 계산 과정이 아니라 두 양을 어떻게 연결할지 정하는 첫 판단에서 문제가 시작되었다. 학생은 표의 가격을 앞의 가격에 계속 더하는 방식으로 생각하면서도, 2개에 3,000원이라는 한 쌍의 대응값을 기준으로 삼아야 한다는 점을 적지 않았다. 그래서 5개를 2개와 3개로 나누고, 3개에 해당하는 값을 임의로 3,000원으로 처리했다.

개수와 가격이 정비례하려면 가격을 개수로 나눈 값이 표의 모든 대응쌍에서 같아야 한다.

틀어진 판단을 한 줄로 바로잡기

학생은 표 아래에 각 대응값을 나란히 계산했다.

• 3,000÷2＝1,500
• 6,000÷4＝1,500
• 9,000÷6＝1,500

세 경우 모두 1개당 가격이 1,500원으로 같았다. 따라서 가격을 y, 개수를 x라고 하면 y＝1,500x로 나타낼 수 있다고 직접 적었다. 이미 작성한 표는 그대로 두고, 5개에 대해서만 1,500×5＝7,500으로 계산했다. 구한 값을 원래 관계에 넣어 7,500÷5＝1,500이 되는지도 확인했다. 이 검산으로 5개일 때의 가격이 표의 일정한 관계와 맞는다는 근거를 확보했다.

표를 문장과 식으로 바꾸어 보기

같은 개념을 다른 모습으로 적용하기 위해 표를 보여 주지 않고 다음 문장을 제시했다. “한 묶음에 들어 있는 연필의 수가 늘어날 때, 연필의 전체 수는 묶음 수에 따라 일정한 비율로 늘어난다. 3묶음에 연필이 12자루 있다면 5묶음에는 몇 자루인가?”

학생은 먼저 3묶음과 12자루를 대응시켜 12÷3＝4라고 썼다. 이어서 “묶음 수 1개당 연필 4자루”라는 문장으로 바꾸고, 전체 연필 수를 y, 묶음 수를 x로 두어 y＝4x를 세웠다. 5묶음에 대해서는 y＝4×5＝20이라고 답했다. 이번에는 표가 없었지만, 20÷5＝4이고 처음 주어진 12÷3＝4와 같으므로 정비례 관계가 유지된다고 설명했다.

그래프를 읽기 전 경계 조건까지 점검하기

다음 문제에서는 가로축을 시간, 세로축을 이동한 거리로 정한 그래프가 주어졌다. 점 (1, 60), (2, 120), (3, 180)이 표시되어 있었고, 4시간 뒤의 거리를 물었다. 학생은 점들의 세로값만 보고 60씩 증가한다고 적었지만, 곧바로 식을 세우지 않고 축의 의미를 다시 읽었다.

가로축의 1은 1시간, 세로축의 60은 60km라는 뜻이므로 거리÷시간을 계산하면 모두 60이다. 학생은 y＝60x를 세운 뒤 4시간이면 240km라고 했다. 다만 시간이 0일 때 거리는 0이어야 한다는 조건도 덧붙였다. 그래프의 점을 식에 대입해 60＝60×1, 120＝60×2가 성립하는지 확인하고, 문제에서 묻는 시간 범위 안에서만 결과를 사용했다.

인천문학동중1수학과외에서는 풀이를 가린 뒤 같은 학생이 새 표를 혼자 완성하도록 했다. 이번에는 주어진 대응값 7과 35만 보고 먼저 35÷7＝5를 계산했다. “두 양의 비가 일정하므로 정비례이고, 식은 y＝5x이다”라고 이유를 쓴 다음, 표의 다른 칸과 질문의 값을 스스로 채웠다.

학생은 표의 대응값을 식에 넣어 각각 y＝5x가 되는지 확인했고, 0에 대응하는 값도 0이라고 표시했다. 마지막으로 문장으로 제시된 조건을 식으로 바꾸고, 식에서 표로 되돌린 뒤, 원래 대응값을 다시 대입해 모든 결과가 일치하는지 설명했다. 힌트 없이도 첫 대응값에서 일정한 비를 찾고, 표·식·문장 사이를 오가며 정비례 관계를 재현한 것이다.