인천문학동 고3수학과외

정답에서 거꾸로 찾은 모평균 추정의 첫 선택

풀이의 마지막 계산은 이상하지 않았다. 표본평균과 표본의 크기를 식에 넣었고, 구간의 양 끝도 정확히 계산했다. 그런데 결론이 정답과 달랐다. 인천문학동과외 수업에서 학생은 해설을 처음부터 읽지 않고, 정답에서 풀이를 거꾸로 따라가며 자신이 처음 다른 판단을 한 줄에 표시했다.

문제는 “모표준편차가 10인 모집단에서 크기 25인 표본을 임의추출했다. 표본평균이 48일 때 모평균의 95% 신뢰구간을 구하여라”와 같은 형태였다. 학생은 표본평균의 표준오차를 10으로 적은 뒤, 95% 신뢰구간을 48±1.96×10으로 만들었다. 계산 자체는 끝까지 일관됐지만, 첫 식에서 이미 잘못된 개념을 선택한 것이다. 표본평균의 표준오차는 모표준편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눈 값이므로 10/√25=2이다. 따라서 올바른 구간은 48±1.96×2, 즉 약 (44.08, 51.92)가 된다.

계산보다 앞선 선택을 표시하다

학생의 오답지에는 표준오차, 신뢰수준, 표본평균이 한 줄에 섞여 있었다. 표본평균 48은 중심이고, 표준오차 2는 표본평균의 변동 크기이며, 1.96은 95% 신뢰수준에 대응하는 값이다. 학생은 이 셋을 구분하지 않은 채 모표준편차 10을 오차의 크기로 바로 사용했다.

교정은 한 가지 흔적만 남기는 방식으로 진행했다. 첫 식 옆에 “표본평균의 표준오차 = 모표준편차 ÷ √표본크기”라고 적고, 그 아래에 “신뢰구간 = 표본평균 ± 임계값 × 표준오차”를 분리해 썼다. 그 뒤 기존 풀이에서 이 첫 줄만 바꾸고 나머지 계산을 다시 이어 갔다. 새로운 공식을 여러 개 추가한 것이 아니라, 최초로 잘못 고른 대상을 바로잡은 것이다.

모평균 추정에서는 계산이 맞는지 보기 전에, 오차항이 모표준편차인지 표본평균의 표준오차인지 먼저 확인한다.

조건의 위치를 바꾼 변형 문제

다음 문제에서는 유형명을 가렸다. “어떤 모집단의 모표준편차가 6이고, 크기 36인 표본에서 표본평균이 72로 나타났다. 99% 신뢰수준에서 모평균을 추정하라”는 문장을 제시했다. 이번에는 신뢰수준이 앞에 나오지 않고 마지막에 놓였으며, 99%에 대응하는 임계값은 2.576으로 주어졌다.

학생은 먼저 표본평균 72를 중심에 놓고, 표준오차를 6/√36=1로 따로 기록했다. 이어 72±2.576×1을 세워 약 (69.424, 74.576)을 얻었다. 숫자만 바뀐 문제가 아니라 조건 제시 순서가 달라졌지만, 표본평균과 표준오차를 분리하는 판단은 유지됐다. 만약 신뢰수준이 95%로 바뀌면 중심과 표준오차는 그대로이고 임계값만 달라진다는 점도 설명했다.

조건 하나를 뺀 경우도 확인했다. 모표준편차가 알려지지 않고 표본의 표준편차만 주어진다면 같은 수치식을 무조건 사용할 수 없으며, 표본 크기와 분포 조건에 따라 다른 추정 절차를 검토해야 한다고 답했다. 즉 주어진 조건이 사라졌을 때 결론을 그대로 유지하지 않고, 어떤 단계가 영향을 받는지 구분했다. 반대로 표본평균만 달라지고 모표준편차와 표본 크기가 같다면 표준오차는 변하지 않고 구간의 중심만 이동한다고 판단했다.

다음 날, 해설 없이 다시 찾은 첫 오류

다음 날에는 표본평균이 105, 모표준편차가 12, 표본 크기가 64인 문제를 제시했다. 95% 신뢰구간을 묻되 풀이 흔적과 보기의 정답 표시는 모두 지웠다. 학생은 곧바로 계산하지 않고, 먼저 “모표준편차가 주어졌으므로 표본평균의 표준오차를 사용한다”고 적었다. 이어 12/√64=1.5를 계산하고 105±1.96×1.5를 세웠다. 구간은 약 (102.06, 107.94)이다.

검증 단계에서 학생은 결과만 맞추지 않았다. 표본 크기가 커지면 표준오차가 작아져 구간이 좁아지는지, 신뢰수준을 높이면 임계값이 커져 구간이 넓어지는지 각각 말로 확인했다. 또 마지막에 표본평균 105가 구간의 가운데에 있는지 대입해 보았다. 처음 오답처럼 모표준편차를 그대로 오차로 쓰는 선택은 나타나지 않았다. 정답에서 역으로 복원했던 핵심 행동, 즉 표준오차를 신뢰수준의 임계값과 분리하고 첫 식의 근거를 먼저 적는 습관이 새로운 수치와 가려진 유형에서도 스스로 남아 있었다.