청당지구 중3수학과외

청당지구 생활권에서 살펴본 산점도 읽기

청당지구과외 수업에서 학교 프린트의 산점도 문제를 펼쳤다.

점 하나가 아니라 전체 배열을 읽기

첫 번째 문제에는 가로축에 ‘하루 공부 시간(시간)’, 세로축에 ‘쉬는 시간에 마신 물의 양(mL)’이 적혀 있었다. 점은 다음처럼 표시되어 있었다.

• (1, 420), (2, 300), (2, 510), (3, 380)
• (4, 460), (5, 290), (5, 530), (6, 350)

학생은 프린트에서 오른쪽 위에 놓인 점 두 개를 동그라미 치고 “공부 시간이 늘수록 물의 양도 늘어난다”고 적었다. 이어 문제의 보기에서 ‘양의 상관관계’를 골라 계산 표시를 하려 했다. 이때 아직 계산을 시작하지 않았지만, 이미 결론의 방향을 정한 상태였다.

학생의 첫 기록: “오른쪽 위 점이 있으므로 두 양은 함께 증가한다.”

가장 먼저 어긋난 판단은 점 두 개의 위치를 전체 산점도의 흐름으로 대신한 것이었다. 산점도에서 상관관계가 거의 없는지를 묻는 문제에서는 두 축이 무엇을 나타내는지 확인한 뒤, 점들이 한 방향으로 모이는지 전체적으로 읽어야 한다. 위 자료는 공부 시간이 커질수록 물의 양이 일정하게 커지는 모양이 아니다. 같은 공부 시간에서도 물의 양이 크게 다르고, 2시간에서 510mL인 점과 5시간에서 290mL인 점처럼 방향이 엇갈린다.

바꾼 것은 ‘보이는 점’이 아니라 읽는 순서

교정은 한 행동만 고쳤다. 학생에게 이미 적어 둔 축의 단위와 점 좌표는 그대로 두고, 결론을 쓰기 전에 전체 점의 흐름을 왼쪽에서 오른쪽으로 훑어보게 했다. 학생은 1시간부터 6시간까지 점을 따라가며 “위로만 가지 않고, 같은 세로선 안에서도 높이가 벌어지며, 전체가 일정한 띠를 만들지 않는다”고 다시 기록했다.

그 뒤 “두 변수 사이의 뚜렷한 관계가 거의 보이지 않으므로 상관관계가 거의 없다”고 답을 고쳤다. 처음에 좌표를 읽은 과정이나 자료의 단위를 확인한 과정은 틀리지 않았으므로 그대로 유지했다. 겉으로 눈에 띄는 일부 점 대신 전체 분포를 근거로 삼은 것이 핵심이었다.

표 대신 방향이 뒤집힌 그림으로 적용하기

다음 연습은 숫자표가 아니라 ‘수면 시간’과 ‘아침 지각 횟수’를 나타낸 산점도였다. 가로축은 지각 횟수, 세로축은 수면 시간으로 제시되었고, 점들은 왼쪽 위와 오른쪽 아래에만 모이지 않았다. 왼쪽 아래에도 점이 있었고 오른쪽 위에도 여러 점이 있어, 한 방향의 흐름이 뚜렷하지 않았다.

질문은 “지각 횟수가 많을수록 수면 시간이 짧아지는 관계가 뚜렷한가?”였다. 이번에는 축의 순서와 질문의 방향이 앞 문제와 달랐다. 학생은 먼저 가로축이 지각 횟수임을 표시하고, 세로축이 수면 시간임을 확인했다. 이어 “왼쪽에서 오른쪽으로 갈 때 점들이 계속 아래로 내려가는지”를 살폈다. 일부 점만 고르면 내려가는 것처럼 보이지만, 전체 점은 위아래로 흩어져 있었다. 따라서 뚜렷한 음의 상관관계라고 단정하지 않고, 상관관계가 거의 없는 경우로 판단했다.

힌트 없이 다시 확인한 마지막 산점도

며칠 뒤 청당지구중3수학과외에서 새 프린트를 제시했다. 가로축은 ‘주간 운동 횟수’, 세로축은 ‘독서 시간(분)’이었고, 그림에는 점 열 개가 표시되어 있었다. 질문은 “운동 횟수가 늘면 독서 시간도 일정하게 늘어나는가?”였다. 이번에는 어떤 표시나 질문도 먼저 제공하지 않았다.

학생은 스스로 두 축의 이름과 단위를 읽은 뒤, 왼쪽에서 오른쪽으로 점들의 높이를 비교했다. “오른쪽에 높은 점도 있지만 낮은 점도 있고, 왼쪽에도 높은 점과 낮은 점이 함께 있다. 전체가 위쪽이나 아래쪽으로 모이지 않으므로 뚜렷한 상관관계가 거의 없다”고 설명했다.

마지막으로 일부 점만 잘라 보지 않고 산점도 전체를 다시 가리키며 자신의 판단을 검산했다. “모든 점이 아니라 전체 분포를 기준으로 읽었고, 두 축의 의미와 질문의 방향도 확인했으므로 결론이 그림과 일치한다”고 말하며 풀이를 마쳤다.