청당지구 고1수학과외
청당지구 고1수학과외, 조건이 있는 배열에서 조건 변화에 대응한 사례
청당지구에서 수업하던 한 학생은 네 명을 한 줄로 세우는 배열 문제에서 전체 경우의 수를 먼저 계산한 뒤 조건을 붙이려 했다. 문제는 특정 두 사람이 붙어 있어야 하는 상황이었지만, 학생은 두 사람을 하나의 묶음으로 보지 않고 각 자리의 선택을 따로 세었다.
조건을 배열의 기준으로 바꾼 순간
오류의 원인은 조건을 계산 마지막에 더하는 부가 설명처럼 처리한 데 있었다. 두 사람이 반드시 이웃해야 한다면 두 사람을 하나의 묶음으로 정하고, 묶음 내부의 순서가 달라지는 경우를 별도로 세어야 한다는 기준을 세웠다.
조건이 배열 전체에 영향을 주면, 조건을 만족하는 배치 단위를 먼저 정한다.
예를 들어 A, B, C, D를 배열할 때 A와 B가 붙어야 한다면 AB 또는 BA를 하나의 묶음으로 볼 수 있다. 묶음과 C, D를 배열하는 방법은 3!가지이고, 묶음 내부 순서는 2가지이므로 전체는 3!×2=12가지가 된다.
조건의 위치를 바꾼 적용
이후에는 “A와 B가 붙는다”가 아니라 “A와 B가 양 끝에 함께 놓일 수 없다”는 문장으로 조건을 바꾸었다. 학생은 전체 배열에서 두 사람이 양 끝을 차지하는 경우를 따로 세어 제외하면서, 조건이 긍정형에서 제한형으로 바뀌어도 같은 배열 기준을 유지했다.
마지막에는 숫자 대신 다섯 명을 배열하는 변형을 제시하고, 특정 두 사람이 붙는 경우와 붙지 않는 경우의 합이 전체 배열 수와 일치하는지 확인하게 했다. 두 경우의 분류가 겹치거나 빠진 부분이 없는지 점검한 뒤, 조건 변화에 따라 배열 단위를 다시 설정해야 한다는 결론을 스스로 정리했다.