청당지구 중1수학과외

청당지구 중1수학과외에서 다각형 대각선 수를 세는 방법

청당지구과외 수업에서 학생은 천안가온중학교가 포함된 생활권의 문제를 풀며 다각형의 대각선 개수를 다뤘다. 문제에는 “한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수가 5개인 다각형의 전체 대각선 개수를 구하라”는 조건이 제시되어 있었다. 극동늘푸른아파트가 있는 생활권에서 접할 수 있는 건물의 모양을 떠올리기는 했지만, 풀이의 근거는 그림이 아니라 문제에 적힌 꼭짓점 조건으로 한정했다.

한 꼭짓점에서 시작한 첫 풀이

학생은 오각형 그림을 그리고 꼭짓점마다 선을 그어 보았다. 그러나 주어진 조건의 5를 변의 개수로 바로 읽어 “오각형의 대각선은 5개”라고 적었다. 그림에는 대각선 다섯 개가 보였기 때문에 계산이 맞는 듯했지만, 실제로는 조건이 말하는 대상과 구하려는 대상이 달랐다.

“한 꼭짓점에서 대각선을 5개 그을 수 있다”와 “전체 대각선이 5개이다”는 같은 뜻이 아니다.

오류가 생긴 최초의 판단은 숫자 5를 곧바로 다각형의 변 개수로 바꾼 일이었다. 변의 개수를 먼저 확인하지 않고 그림에 보이는 선의 수를 전체 답으로 정한 것이 문제였다.

조건을 꼭짓점 수로 바꾸어 다시 세기

교사는 이미 그린 그림을 지우게 하지 않고, 한 꼭짓점에 동그라미를 표시하게 했다. 그 꼭짓점에서 선을 그을 수 없는 대상을 순서대로 적었다. 자기 자신에게는 선을 그을 수 없고, 양옆의 두 꼭짓점은 변으로 이어져 있으므로 대각선이 아니다. 따라서 전체 꼭짓점 수를 n이라 하면 한 꼭짓점에서 가능한 대각선 수는 n-3이다.

문제의 조건이 5개이므로 n-3=5, 따라서 n=8이다. 학생은 팔각형을 그리고 한 꼭짓점에서 양옆 두 점과 자기 자신을 제외한 다섯 점에 표시했다. 이제 전체 대각선은 각 꼭짓점에서 5개씩 세어 8×5로 계산할 수 있지만, 각 대각선이 양 끝 꼭짓점에서 두 번씩 세어진다. 그러므로 전체 개수는 8×5÷2=20개이다.

교정의 핵심은 그림에서 보이는 선을 먼저 세는 대신, “한 꼭짓점에서 몇 개”라는 조건을 꼭짓점 수와 연결한 것이다. 변의 수와 대각선의 수를 섞지 않자 같은 그림에서도 계산 근거가 분명해졌다.

모양과 질문이 달라진 문제에 적용하기

다음 문제는 도형을 오른쪽으로 돌려 놓고, “팔각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그었을 때 대각선이 아닌 선분은 몇 개인가?”라고 물었다. 학생은 회전된 모양을 보고 판단하지 않고, 먼저 “팔각형이므로 꼭짓점은 8개”라고 적었다. 한 꼭짓점에서 나머지 7개 꼭짓점으로 선을 그을 수 있지만, 양옆 두 선분은 변이므로 대각선에서 제외했다. 따라서 대각선은 7-2=5개이다.

질문이 전체 대각선이 아니라 한 꼭짓점에서의 개수를 묻는다는 점도 따로 표시했다. 이어서 조건의 순서를 바꾼 문제, 즉 “한 꼭짓점에서 대각선 5개를 그을 수 있고 모든 꼭짓점을 연결한 도형이다. 전체 대각선은?”이라는 문장도 같은 방식으로 풀었다. 먼저 5+3=8로 꼭짓점 수를 찾고, 8×5÷2=20으로 전체 개수를 구했다. 도형을 회전했어도 꼭짓점 수와 제외해야 할 두 이웃 꼭짓점은 변하지 않는다는 한 줄의 근거를 적었다.

힌트 없이 진행한 최종 확인

청당지구중1수학과외의 마지막 확인에서는 풀이 가림판으로 앞의 식을 가리고 새 문제를 제시했다. 학생은 “한 꼭짓점에서 대각선 4개”라는 조건을 읽고 먼저 4+3=7이라고 적었다. 이어 칠각형의 전체 대각선을 7×4÷2=14로 계산했다.

학생은 답만 말하지 않고 “자기 자신과 양옆 두 꼭짓점은 대각선으로 세지 않으므로 3을 더해 전체 꼭짓점 수를 찾았고, 각 대각선은 양 끝에서 두 번 세어지므로 2로 나눈다”고 설명했다. 마지막으로 칠각형 그림에서 한 꼭짓점의 대각선 네 개를 표시하고, 전체를 세었을 때 14개가 되는지 확인했다. 조건을 먼저 읽고, 한 꼭짓점의 개수와 전체 개수를 구별한 뒤, 중복 계산까지 스스로 검산한 장면이었다.