청당지구 고2수학과외







해가 맞아 보여도 먼저 확인할 것
다음 날 학생은 전날 풀이를 다시 보며 “지수의 밑이 2이고 2는 1보다 크므로 부등식 변형은 맞다”고 적었다. 그러나 그 결론만으로 모든 실수 \(x\)를 후보로 둘 수는 없었다. 식이 실제로 정의되는 범위를 먼저 제한해야 하기 때문이다.
한 식에 숨어 있는 정의 조건
다음 부등식을 풀어 보자.
\[ \frac{2^x-4}{\sqrt{3-x}}\ge 0 \]
분모의 제곱근이 정의되려면 \(3-x\ge0\)이어야 하고, 분모가 0이면 안 되므로
\[ 3-x>0,\qquad x<3 \]
이다. 이 조건을 빠뜨리면 \(x=3\)까지 허용하는 오류가 생긴다.
정의역 안에서 부호 비교하기
\(x<3\)일 때 \(\sqrt{3-x}>0\)이므로 분자의 부호만 조사하면 된다.
\[ 2^x-4\ge0 \iff 2^x\ge2^2 \iff x\ge2 \]
따라서 두 조건의 교집합은
\[ x<3,\quad x\ge2 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{2\le x<3} \]
해설 없이 다시 푼 기록
학생은 다음 문제를 풀이 과정만 적으며 다시 확인했다.
\[ \frac{3^x-9}{\sqrt{x+1}}\lt0 \]
먼저 \(x+1>0\)이므로 \(x>-1\). 이때 분모는 양수다.
\[ 3^x-9<0 \iff 3^x<3^2 \iff x<2 \]
정의 조건과 부등식의 해를 합치면
\[
-1 이다. \(x=-1\)은 근호가 0이 되어 분모가 사라지므로 포함할 수 없다. 지수함수의 증가·감소 성질을 이용한 변형은 정의된 값에 대해서만 유효하다. 따라서 풀이 순서는 식의 정의 조건 확인, 지수부등식 해결, 두 결과의 교집합 계산으로 정리해야 한다. 지역 정보 자체가 풀이 조건을 바꾸지는 않지만, 청당지구과외 학습에서도 이 세 단계를 분리해 기록하면 \(x=3\)이나 \(x=-1\) 같은 경계값을 실수로 포함하는 일을 줄일 수 있다.청당지구과외에서 점검한 판단 기준