구성동 고2수학과외
한 점의 크기보다 전체 구간을 먼저 본다
학생은 그래프의 한 점에서 더 큰 함수가 전체 정적분도 클 것이라고 판단했다. 그러나 정적분은 함수값뿐 아니라 누적되는 구간의 길이까지 함께 반영한다. 구성동과외 수업에서는 이 차이를 계산보다 먼저 확인하도록 했다.
오답이 시작된 지점
예를 들어 모든 구간에서 \(f(x)\le g(x)\)이고
\[ \int_0^2 f(x)\,dx,\qquad \int_0^1 g(x)\,dx \]
를 비교한다고 하자. 구간별 함수값만 보면 \(f\le g\)이므로 \(f\)의 적분이 작다고 생각하기 쉽다. 하지만 구간 길이가 다르므로 이 관계만으로는 결론을 낼 수 없다.
계산으로 확인한 반례
\(f(x)=2,\ g(x)=3\)이라면 \(0\le x\le1\)에서 \(f(x)\le g(x)\)이다. 실제 적분값은
\[ \int_0^2 2\,dx=4,\qquad \int_0^1 3\,dx=3 \]
이다. 함수값은 \(g\)가 더 크지만, \(f\)가 누적되는 구간이 더 길어 적분값은 오히려 크다.
비교가 가능한 조건을 다시 세우기
같은 구간 \([a,b]\)에서 \(f(x)\le g(x)\)가 모든 \(x\)에 대해 성립하면
\[ \int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx \]
라고 말할 수 있다. 핵심은 함수의 대소 관계와 적분 구간이 모두 같아야 한다는 점이다.
그래프가 교차할 때의 처리
두 함수가 한 구간에서 교차하면 전 구간의 대소 관계를 바로 적용할 수 없다. 교점 \(c\)를 기준으로 나누어
\[ \int_a^b(f-g)\,dx = \int_a^c(f-g)\,dx+\int_c^b(f-g)\,dx \]
를 계산하거나, 각 부분에서 어느 그래프가 위에 있는지 비교해야 한다. 한 점에서의 함수값만으로 전체 넓이의 우열을 정할 수는 없다.
새 문제에 남긴 판단 순서
- 두 적분의 구간이 같은지 확인한다.
- 같은 구간이라면 전 구간에서 \(f\le g\) 또는 \(f\ge g\)가 유지되는지 살핀다.
- 구간이 다르거나 그래프가 교차하면 차의 적분 또는 구간별 넓이를 계산한다.
이 순서를 지키면 정적분 비교에서 함수값 하나만 보고 결론내리는 오류를 피할 수 있다.