구성동 중1수학과외

주어진 조건을 먼저 세우는 삼각형 작도

구성동과외 수업에서 학생이 삼각형 작도 문제를 풀며 막힌 지점은 자와 컴퍼스를 다루는 방법보다 어떤 조건이 삼각형을 하나로 정할 수 있는지를 골라내는 과정이었다. 극동늘푸른아파트와 두정세광아파트가 있는 생활권, 천안용곡중학교와 천안신방중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 문제 형식처럼 보였지만, 그림의 모양만 따라 그리면 조건의 순서를 바꾸었을 때 바로 흔들렸다.

그림보다 문제의 조건을 먼저 읽다

제시된 문제에는 선분 AB의 길이, 선분 AC의 길이, 그리고 각 A의 크기가 주어져 있었다. 학생은 그림을 보자마자 종이에 삼각형을 그리고, 눈대중으로 A를 왼쪽 아래에 배치한 뒤 AB와 AC를 차례로 그렸다. 그러나 각의 크기를 표시하기 전에 두 변의 길이부터 자로 재어 비슷하게 맞추려 했다.

이때 풀이가 어긋나기 시작했다. 학생은 주어진 두 변과 그 사이각이 삼각형을 결정한다는 판단보다, 그림의 방향과 모양을 먼저 믿었다. 그래서 각 A가 두 변 사이의 각인지 확인하지 않은 채, 바깥쪽에 각 표시를 해 버렸다. 작도한 삼각형은 얼핏 문제 그림과 닮았지만, 조건을 그대로 만족한다고 말하기 어려운 상태였다.

“주어진 길이를 먼저 옮기는 것은 맞지만, 그 두 선분이 어느 각을 사이에 두는지 정하지 않으면 작도의 기준이 없어져.”

학생은 잘못 그린 도형을 전부 지우지 않고, 먼저 문제 문장에서 조건에 밑줄을 그었다. AB, AC, ∠BAC를 한 묶음으로 표시하고, 각 A의 양쪽 변이 AB와 AC라는 대응 관계를 다시 연결했다. 그 뒤 선분 AB를 먼저 작도하고, A를 중심으로 주어진 각을 그렸다. 각의 한쪽 변 위에 AC의 길이를 컴퍼스로 옮겨 점 C를 정한 다음 B와 C를 연결했다. 이미 맞았던 선분 AB의 길이는 그대로 유지하면서, 오류가 난 각의 위치만 바로잡은 것이다.

조건의 순서가 달라진 문제에 적용하기

다음 문제에서는 설명 방식이 바뀌었다. “길이가 5cm인 선분의 한 끝점에서 60°를 만들고, 그 각의 다른 변 위에 4cm를 표시하여 삼각형을 완성하라”는 문장이었다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 이번에는 삼각형의 이름과 각의 기호가 앞에 나오지 않았다.

학생은 문장을 읽으며 먼저 선분을 하나 그리고, 양 끝점을 P와 Q로 정했다. 이어 “한 끝점에서 60°”라는 표현만 보고 임의로 Q에서 각을 만들려다가 손을 멈췄다. 문장에 각의 꼭짓점이 특정되지 않았으므로, 선분의 어느 끝점이 기준이 되어도 같은 조건을 만족한다는 점을 확인한 것이다. 학생은 P를 꼭짓점으로 정하고, P에서 60°의 두 반직선을 표시했다. 그중 선분 PQ가 한 변이 되도록 방향을 맞춘 뒤, 다른 반직선에 4cm를 표시해 R을 잡고 QR을 연결했다.

이 과정에서 학생은 필요하지 않은 후보를 제외했다. 선분 PQ와 60°를 이루지 않는 선을 기준으로 삼거나, 4cm를 각의 꼭짓점에서 재지 않고 중간에서 표시하는 방법은 조건을 만족시키지 못하므로 작도 후보로 남기지 않았다.

회전된 그림에서도 대응을 확인하다

마지막 연습 문제의 그림은 앞의 삼각형을 시계 방향으로 돌린 모양이었다. 질문도 “삼각형을 작도하라”가 아니라 “주어진 조건을 만족하는 세 번째 꼭짓점을 표시하라”로 바뀌어 있었다. 학생은 그림의 위아래 위치를 기준으로 판단하지 않고, 조건부터 다시 적었다.

• 기준이 되는 선분의 길이를 먼저 표시한다.
• 그 선분의 정해진 끝점에서 주어진 각을 만든다.
• 각의 다른 변에서 주어진 길이를 옮겨 세 번째 점을 정한다.
• 세 점을 연결해 삼각형을 완성한다.

학생은 회전된 그림에서 기존의 A, B, C 위치를 억지로 찾지 않고, 기준 선분과 각의 꼭짓점, 각의 다른 변에 놓인 점을 다시 연결했다. “위에 있는 점이 꼭 C일 필요는 없고, 주어진 각의 꼭짓점과 그 각을 이루는 두 변이 핵심”이라고 풀이 옆에 한 줄로 적었다.

힌트 없이 작도를 다시 재현한 장면

단원평가 직전에는 해설을 가린 채 새 문제를 건넸다. 이번에는 선분의 길이와 한 각, 그리고 그 각을 이루는 한 변의 길이가 제시되었지만 조건의 순서가 섞여 있었다. 학생은 문제에서 길이와 각에 동그라미를 치고, 각의 꼭짓점과 연결되는 두 변을 찾아 표시했다. 먼저 기준 선분을 작도한 뒤, 정확한 끝점에서 각을 만들고, 컴퍼스로 다른 변의 길이를 옮겨 세 번째 점을 정했다.

학생은 완성된 도형을 보며 “이 작도가 가능한 이유는 주어진 두 변과 그 사이각이 정해졌기 때문이며, 회전된 모양이어도 대응하는 꼭짓점·변·각의 관계는 바뀌지 않는다”고 설명했다. 이어 실제로 선분의 길이를 다시 재고, 표시한 각이 조건의 각인지 확인한 뒤, 컴퍼스로 옮긴 길이가 맞는지 점검했다. 처음처럼 그림의 방향을 먼저 믿지 않고 조건을 먼저 세운 풀이를 힌트 없이 끝까지 재현한 것이다.

이처럼 구성동중1수학과외에서는 삼각형의 겉모양보다 주어진 길이와 각의 관계를 먼저 읽고, 조건의 순서나 도형의 회전이 달라져도 같은 작도 원리를 이어 가는 과정을 확인한다.