구성동 중2수학과외

밑각의 크기를 구하기 전, 어떤 선을 기준으로 볼까

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문제의 그림에는 삼각형 ABC가 있고, 두 변의 길이가 같다는 표시와 함께 선분 AD가 그려져 있었다. 학생은 먼저 주어진 각 48°에 동그라미를 치고, 같은 길이 표시가 붙은 두 변을 두 번 덧그렸다. 이어 “밑각은 같다”라고 적은 뒤 180°에서 48°를 빼려 했다. 그런데 AD가 삼각형의 꼭짓점 A에서 밑변 BC로 내려간 선이라는 점을 보고 잠시 계산을 멈췄다.

“AD가 수직이등분선이면 B와 C를 나누는 선이고, 각의 이등분선이면 A의 각을 나누는 선이지? 그런데 지금은 어느 조건인지 먼저 봐야 해요.”

계산보다 앞서 어긋난 한 줄

학생의 첫 풀이에서 가장 먼저 잘못 선택한 것은 AD를 보자마자 ‘각의 이등분선’이라고 정한 일이었다. 그림에서 선이 가운데를 지나가는 것처럼 보인다는 이유만으로 ∠BAD와 ∠DAC가 같다고 표시한 것이다. 그 결과 주어진 48°를 A의 한쪽 각으로 읽고, 다른 각을 48°로 복사하려 했다. 아직 숫자 계산은 본격적으로 시작되지 않았지만, 이미 선의 역할을 임의로 정한 상태였다.

교사는 외심이나 내심의 정의를 더 설명하며 범위를 넓히지 않고, 학생이 잘못 붙인 표시 하나만 지우게 했다. 그리고 AD에 관한 조건을 문장으로 다시 읽도록 했다.

• 수직이등분선: 밑변을 직각으로 나누고, 밑변을 같은 길이로 나눈다.
• 각의 이등분선: 꼭짓점의 각을 두 같은 각으로 나눈다.
• 이등변삼각형의 밑각 성질: 같은 두 변의 맞은편 각이 서로 같다.

프린트에는 AD가 각을 나눈다는 말도, 직각으로 밑변을 나눈다는 말도 없었다. 대신 AB와 AC에 같은 길이 표시가 있었다. 학생은 AD 옆의 임의의 각 표시를 모두 지우고, AB=AC를 네모로 둘러쌌다. 이 한 가지 수정으로 기준을 바꿨다. 이미 읽어 둔 48°와 삼각형의 세 각의 합을 이용하는 과정은 그대로 유지했다.

학생은 ∠B와 ∠C가 AB와 AC의 맞은편 각이므로 같다고 적었다. 주어진 ∠B가 48°라면 ∠C도 48°이고, ∠A는 180°-48°-48°=84°라고 계산했다. 계산 뒤에는 원래 그림으로 돌아가 두 밑각에 같은 표시를 붙이고, 84°+48°+48°=180°인지 확인했다. “AD가 각을 나눈다고 쓰지 않아도, 같은 두 변을 먼저 찾으면 밑각을 정할 수 있다”고 학생이 풀이 옆에 덧붙였다.

같은 성질을 다른 모양의 질문으로 바꾸기

다음 문제는 성질을 직접 묻지 않았다. 표에 AB=AC라고만 적혀 있고, 각의 이름 대신 ‘A에 마주 보는 각’과 ‘C에 마주 보는 각’이라는 문장이 제시되었다. 학생은 그림을 보자마자 수치를 찾지 않고, 먼저 같은 길이의 두 변을 표시했다. 그 뒤 각의 위치를 말로 바꾸어 AB의 맞은편은 C, AC의 맞은편은 B라고 적었다. 따라서 같은 것은 ∠B와 ∠C라고 판단했다.

이어 그래프처럼 배치된 다른 자료에서는 삼각형의 세 꼭짓점이 좌표가 아니라 P, Q, R로 표시되고, “PQ와 PR이 같을 때 서로 같은 각을 고르시오”라고 물었다. 학생은 보기의 각을 하나씩 계산하지 않고 PQ와 PR의 맞은편인 ∠R과 ∠Q를 연결했다. 질문의 방향이 “같은 각을 구하라”에서 “같은 변을 찾아라”로 바뀌었지만, 같은 두 변의 맞은편 밑각이라는 기준을 먼저 세운 것이다.

힌트 없이 다시 세운 기준

구성동중2수학과외 수업의 독립 확인에서는 선분 AX가 그려진 이등변삼각형과 다음 조건만 제시했다. AB=AC, ∠C=57°, AX에 대해 별도의 수직 또는 각 이등분 조건은 없음. 학생은 별도 설명을 기다리지 않고 AB와 AC에 같은 표시를 한 뒤 “A에서 내려온 선의 모양은 판단 근거가 아니고, 같은 두 변의 맞은편 각을 먼저 봐야 한다”고 말했다.

학생은 ∠B=57°라고 적고, ∠A=180°-57°-57°=66°을 구했다. 마지막으로 두 밑각의 합과 꼭짓각을 더해 180°가 되는지 검산했으며, AX를 각의 이등분선이나 수직이등분선이라고 부를 조건은 주어지지 않았다고 설명했다. 이번에는 도움 없이 첫 판단부터 근거를 말하고, 계산 뒤에도 그 판단이 그림의 조건과 맞는지 확인했다.