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구성동 중2수학과외

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밑각의 크기를 구하기 전, 어떤 선을 기준으로 볼까

구성동과외 수업에서 학생은 천안용곡중학교가 포함된 생활권의 시험범위 프린트를 펼쳐 이등변삼각형 문제를 다시 풀었다. 극동늘푸른아파트와 두정세광아파트가 있는 생활권에서 자주 접하는 학습 자료였지만, 이날 확인할 것은 계산 속도가 아니라 계산을 시작하기 직전의 판단이었다.

문제의 그림에는 삼각형 ABC가 있고, 두 변의 길이가 같다는 표시와 함께 선분 AD가 그려져 있었다. 학생은 먼저 주어진 각 48°에 동그라미를 치고, 같은 길이 표시가 붙은 두 변을 두 번 덧그렸다. 이어 “밑각은 같다”라고 적은 뒤 180°에서 48°를 빼려 했다. 그런데 AD가 삼각형의 꼭짓점 A에서 밑변 BC로 내려간 선이라는 점을 보고 잠시 계산을 멈췄다.

“AD가 수직이등분선이면 B와 C를 나누는 선이고, 각의 이등분선이면 A의 각을 나누는 선이지? 그런데 지금은 어느 조건인지 먼저 봐야 해요.”

계산보다 앞서 어긋난 한 줄

학생의 첫 풀이에서 가장 먼저 잘못 선택한 것은 AD를 보자마자 ‘각의 이등분선’이라고 정한 일이었다. 그림에서 선이 가운데를 지나가는 것처럼 보인다는 이유만으로 ∠BAD와 ∠DAC가 같다고 표시한 것이다. 그 결과 주어진 48°를 A의 한쪽 각으로 읽고, 다른 각을 48°로 복사하려 했다. 아직 숫자 계산은 본격적으로 시작되지 않았지만, 이미 선의 역할을 임의로 정한 상태였다.

교사는 외심이나 내심의 정의를 더 설명하며 범위를 넓히지 않고, 학생이 잘못 붙인 표시 하나만 지우게 했다. 그리고 AD에 관한 조건을 문장으로 다시 읽도록 했다.

  • 수직이등분선: 밑변을 직각으로 나누고, 밑변을 같은 길이로 나눈다.
  • 각의 이등분선: 꼭짓점의 각을 두 같은 각으로 나눈다.
  • 이등변삼각형의 밑각 성질: 같은 두 변의 맞은편 각이 서로 같다.

프린트에는 AD가 각을 나눈다는 말도, 직각으로 밑변을 나눈다는 말도 없었다. 대신 AB와 AC에 같은 길이 표시가 있었다. 학생은 AD 옆의 임의의 각 표시를 모두 지우고, AB=AC를 네모로 둘러쌌다. 이 한 가지 수정으로 기준을 바꿨다. 이미 읽어 둔 48°와 삼각형의 세 각의 합을 이용하는 과정은 그대로 유지했다.

학생은 ∠B와 ∠C가 AB와 AC의 맞은편 각이므로 같다고 적었다. 주어진 ∠B가 48°라면 ∠C도 48°이고, ∠A는 180°-48°-48°=84°라고 계산했다. 계산 뒤에는 원래 그림으로 돌아가 두 밑각에 같은 표시를 붙이고, 84°+48°+48°=180°인지 확인했다. “AD가 각을 나눈다고 쓰지 않아도, 같은 두 변을 먼저 찾으면 밑각을 정할 수 있다”고 학생이 풀이 옆에 덧붙였다.

같은 성질을 다른 모양의 질문으로 바꾸기

다음 문제는 성질을 직접 묻지 않았다. 표에 AB=AC라고만 적혀 있고, 각의 이름 대신 ‘A에 마주 보는 각’과 ‘C에 마주 보는 각’이라는 문장이 제시되었다. 학생은 그림을 보자마자 수치를 찾지 않고, 먼저 같은 길이의 두 변을 표시했다. 그 뒤 각의 위치를 말로 바꾸어 AB의 맞은편은 C, AC의 맞은편은 B라고 적었다. 따라서 같은 것은 ∠B와 ∠C라고 판단했다.

이어 그래프처럼 배치된 다른 자료에서는 삼각형의 세 꼭짓점이 좌표가 아니라 P, Q, R로 표시되고, “PQ와 PR이 같을 때 서로 같은 각을 고르시오”라고 물었다. 학생은 보기의 각을 하나씩 계산하지 않고 PQ와 PR의 맞은편인 ∠R과 ∠Q를 연결했다. 질문의 방향이 “같은 각을 구하라”에서 “같은 변을 찾아라”로 바뀌었지만, 같은 두 변의 맞은편 밑각이라는 기준을 먼저 세운 것이다.

힌트 없이 다시 세운 기준

구성동중2수학과외 수업의 독립 확인에서는 선분 AX가 그려진 이등변삼각형과 다음 조건만 제시했다. AB=AC, ∠C=57°, AX에 대해 별도의 수직 또는 각 이등분 조건은 없음. 학생은 별도 설명을 기다리지 않고 AB와 AC에 같은 표시를 한 뒤 “A에서 내려온 선의 모양은 판단 근거가 아니고, 같은 두 변의 맞은편 각을 먼저 봐야 한다”고 말했다.

학생은 ∠B=57°라고 적고, ∠A=180°-57°-57°=66°을 구했다. 마지막으로 두 밑각의 합과 꼭짓각을 더해 180°가 되는지 검산했으며, AX를 각의 이등분선이나 수직이등분선이라고 부를 조건은 주어지지 않았다고 설명했다. 이번에는 도움 없이 첫 판단부터 근거를 말하고, 계산 뒤에도 그 판단이 그림의 조건과 맞는지 확인했다.

구성동 중2수학과외 학부모 후기

책상 주변을 정리하다가 수업 자료 옆에 풀이가 두 줄로 나뉘어 있는 걸 보게 됐어요. 아이가 같은 문제를 푼 두 과정을 왼쪽과 오른쪽에 맞춰 적어 두었더라고요. 그냥 답만 확인한 게 아니라, 중간 계산들을 서로 대조하면서 어느 부분부터 달라졌는지 표시해 둔 모습이었습니다. 구성동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면은 눈여겨보게 되더라고요. 예전에는 다시 펼쳐 보면 풀이 전체를 처음부터 끝까지 비슷하게 훑는 편이었거든요. 그런데 그날에는 두 풀이를 나란히 놓고 첫 차이가 생긴 단계에만 표시를 해두었어요. 수학 교재를 가방에 넣기 전에도 같은 표시를 먼저 찾아보면서 확인할 곳을 바로 짚었고, 마지막에는 막연히 다시 읽는 대신 그 단계만 보고 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

수학 발표를 준비하던 저녁, 아이가 확률 문제의 경우를 작은 표로 나누더니 겹치는 경우를 하나씩 지워 가며 정리하고 있더라고요. 이어서 확인한 부분과 아직 남은 부분도 서로 다르게 표시해 두었어요. 예예전에는 다시 봐야 할 곳이 생겨도 그날 바로 정리해 놓는 모습은 거의 못 봤거든요. 저녁에 프린트를 챙기다가 펼쳐진 종이를 보게 됐는데, 답을 바로 찾기보다 가능한 경우를 먼저 나눠 적은 흔적이 눈에 띄었어요. 표 안에서 같은 경우를 직접 지워 가며 확인한 것도 전과 달랐고요. 구성동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 떠올랐는데, 이번에는 문제를 푼 뒤 어디까지 확인했는지 표시가 남아 있었습니다. 종이를 대충 넘긴 게 아니라 작은 표 안의 경우들을 다시 살피고, 중복되는 것만 골라 지워 둔 상태였어요. 확인한 부분과 남은 부분이 나뉘어 있어서 그 흔적만 봐도 풀이 과정이 그대로 보였습니다.

★★★★★학부모 후기

주말마다 공부 계획을 세워도 예전에는 수업 내용을 자세히 말하지 않던 아이가, 요즘은 지난 숙제를 어떻게 풀었는지 먼저 이야기합니다. 선생님께서 막힌 문제의 정답보다 풀이 과정을 말하게 하고, 구성동 일정에 맞춰 오늘 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주신 덕분인지 스스로 공부량을 확인하는 날이 늘었습니다.

★★★★★학부모 후기

방학 계획을 세우며 구성동 수학과외를 시작했는데, 아이는 모르는 문제를 그냥 넘기고 기분 내키는 만큼만 공부하곤 했습니다. 선생님은 수업 전 지난 내용을 짧게 확인하고 아이가 스스로 생각할 시간을 주셔서, 옆에서 보니 공부를 시작하는 표정과 태도가 한결 편안해졌습니다. 시험 결과보다 과정도 돌아보게 된 점이 특히 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

구성동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 컨디션이 좋지 않은 날에는 문제 수를 줄이고 그날 꼭 익힐 내용에 집중했습니다. 예전에는 이해했다고 넘기기 바빴지만, 이제는 제가 푼 과정을 다시 살펴보며 틀린 이유를 확인하고 모르는 부분은 선생님께 편하게 설명해 달라고 합니다. 시험기간에도 복습할 내용과 다음에 할 일을 나눠 주셔서 부담이 덜했습니다.

★★★★★학부모 후기