구성동 고3수학과외

그래프를 읽기 전에 남겨야 할 한 줄

구성동 생활권에서 수능 함수 합성 문항을 복기하던 학생의 풀이에는 계산보다 먼저 확인해야 할 조건이 빠져 있었다. 문제는 함수 \(f\)의 그래프와 함수 \(g(x)=x+1\)을 주고, \(f(g(a))=2\), \(a\)가 그래프에 표시된 정의역 안에 있다는 조건에서 \(a\)를 구하는 형태였다. 학생은 곧바로 \(f(a+1)=2\)를 보고 그래프에서 함수값이 2인 점을 찾았다.

그래프에 \((1,2)\), \((3,2)\)가 표시되어 있었으므로 학생은 \(a+1=1\) 또는 \(a+1=3\)이라 적어 \(a=0,2\)를 모두 답으로 남겼다. 겉으로는 합성함수의 안쪽부터 처리한 것처럼 보였지만, 실제로는 그래프가 허용하는 입력의 관계를 확인하지 않았다. 문제의 그래프는 \(x\geq 1\)에서만 주어져 있었고, \(a\) 역시 \(a\geq1\)이라는 제한을 포함하고 있었다. 따라서 \(a=0\)은 처음부터 제외해야 했다.

계산보다 먼저 표시한 조건

오답을 다시 따라가면서 학생은 후보를 구한 뒤 버리는 방식이 아니라, 문제의 제한어를 첫 줄에 옮기는 방식으로 바꾸었다.

그래프의 입력 범위: \(x\geq1\), 주어진 변수의 범위: \(a\geq1\)

그 다음에야 \(g(a)=a+1\)을 계산하고, \(f(a+1)=2\)라는 관계를 그래프에 대조했다. 그래프에서 함수값 2가 되는 입력은 1과 3이지만, \(a+1=1\)이면 \(a=0\)이 되어 원조건 \(a\geq1\)을 어긴다. 반면 \(a=2\)는 \(a+1=3\)이고 원조건도 만족한다. 학생은 후보 옆에 각각 “원조건 위반”, “조건 만족”이라고 짧게 적었다. 이 표시는 계산을 새로 많이 하는 방법이 아니라, 그래프관계와 해의 조건을 분리하는 장치였다.

천안고3수학과외 학습에서 자주 보이는 것처럼 합성함수의 식을 바르게 만드는 것만으로는 충분하지 않다. 어떤 입력이 그래프에 들어갈 수 있는지, 구한 해가 문제의 원조건을 통과하는지를 따로 확인해야 한다. 구성동과외 수업에서 이 학생에게도 해설 전체를 다시 베끼게 하지 않고, 빠진 조건을 첫 줄에 복원한 뒤 같은 계산을 이어가게 했다. 마지막 검산은 모든 식을 반복하지 않고, 탈락 후보 \(a=0\)을 원조건에 대입하는 한 줄만 확인하게 했다.

그래프 대신 표가 먼저 나온 경우

다음 날에는 같은 그림을 다시 보여 주지 않았다. 이번에는 표로 함수 \(f\)의 일부를 제시했다.

• \(x=2\)일 때 \(f(x)=4\)
• \(x=5\)일 때 \(f(x)=4\)
• \(f\)의 정의역은 \(x\geq2\)
• \(g(t)=2t-1\), \(t\geq2\)

질문은 \(f(g(t))=4\)를 만족하는 \(t\)를 구하는 것이었다. 숫자만 바꾼 반복문제가 아니라, 그림에서 점을 읽던 상황을 표의 행과 정의역 조건으로 바꾼 것이다. 학생은 먼저 \(t\geq2\)와 \(g(t)\geq2\)를 상자 안에 적었다. 이어 표에서 \(f\)의 값이 4인 입력을 \(g(t)\)와 연결해 \(2t-1=2\) 또는 \(2t-1=5\)로 나누었다.

첫 번째 식에서는 \(t=\frac32\)가 나오지만 \(t\geq2\)에 맞지 않는다. 두 번째 식에서는 \(t=3\)이 남는다. 학생은 이번에는 표에 없는 입력을 임의로 추가하지 않았고, \(g(t)\)가 실제로 \(f\)의 정의역에 들어가는지도 확인했다. 특히 \(t=\frac32\)를 단순히 계산 실수로 지우지 않고 “입력 조건 탈락”이라고 분류한 점이 이전 풀이와 달라졌다.

힌트가 사라진 뒤에도 남은 판단

최종 확인에서는 그래프와 표를 모두 가리고 다음 조건만 제시했다. 함수 \(f\)는 정의역 \(x\geq0\)에서 \(f(0)=3,\ f(4)=3\)을 만족하고, \(g(u)=u+2\), \(u\geq0\)일 때 \(f(g(u))=3\)의 해를 주어진 정보로 판단하라는 문제였다. 학생은 곧바로 두 입력 0과 4를 \(u+2\)와 비교하지 않았다. 먼저 \(u\geq0\), \(u+2\geq0\)을 적고, 각각 \(u=-2,\ 2\)를 만든 뒤 원조건으로 후보를 걸렀다.

그는 “\(u=-2\)는 합성식만 보면 나오지만 문제의 변수 조건에서 제외되고, \(u=2\)만 남는다”고 설명했다. 이어 사용되지 않은 정보가 있는지 살피고, \(u=2\)를 \(g(u)=4\)에 다시 대입해 \(f(4)=3\)과 맞는지 확인했다. 다음 날 무표시 재풀이에서도 첫 줄에 제한조건을 쓰고, 후보마다 탈락 이유를 붙이는 행동이 그대로 나타났다. 천안고3수학과외에서 확인할 최종 기준도 정답 자체가 아니라, 그래프·표·식의 제시 순서가 바뀌어도 원조건을 먼저 찾고 마지막에 다시 대조하는 판단을 유지하는가에 두었다.