전주혁신도시 중등수학과외

전주혁신도시중등수학과외, y/x와 xy를 계산해 정비례·반비례 근거 확인하기

x=1, 2, 4일 때 y=13, 26, 52가 되는 표에서 관계를 묻는 문제는 답만 보면 y=13x입니다. 그러나 이 식이 맞는 이유까지 확인해야 정비례와 반비례를 구분할 수 있습니다. 전주혁신도시중등수학과외에서는 이미 정답을 고른 경우에도 각 행의 x와 y가 어떤 일정한 관계를 갖는지 풀이 기록으로 설명해 보게 합니다. 이번 표에서는 y가 x의 13배라는 사실과 y/x의 값이 모두 13이라는 사실이 핵심 조건입니다.

각 행의 비가 13으로 같다는 뜻

표를 한 줄씩 계산하면 x=1일 때 13/1=13, x=2일 때 26/2=13, x=4일 때 52/4=13입니다. x와 y가 함께 커졌다는 모습만으로 정비례라고 판단하는 것이 아니라, 대응하는 두 수의 비 y/x가 어느 행에서도 13으로 변하지 않는지를 확인해야 합니다. 따라서 y는 언제나 13×x로 쓸 수 있고, 관계식은 y=13x입니다. 그래프 카드로 나타내면 점 (1,13), (2,26), (4,52)는 원점을 지나며 같은 비율로 올라가는 한 직선 위에 놓입니다. 이때 ‘x가 2배가 되면 y도 2배가 된다’는 확인도 가능하지만, 식의 계수 13과 비 13을 직접 표시하는 편이 관계를 더 분명히 보여 줍니다.

y/x가 아니라 xy를 보는 두 번째 표

비교 표에서는 같은 x=1, 2, 4에 y=52, 26, 13이 대응합니다. 이번에는 y/x를 계산하면 52, 13, 13/4로 서로 같지 않으므로 정비례의 조건을 만족하지 않습니다. 대신 곱을 확인합니다. 1×52=52, 2×26=52, 4×13=52로 모든 행에서 xy=52입니다. 즉 x가 커질수록 y는 그에 맞춰 작아져 곱 52를 유지하므로 y=52/x, 반비례 관계입니다. 예를 들어 x가 2에서 4로 2배가 될 때 y는 26에서 13으로 1/2배가 됩니다. 두 표 모두 x값은 1, 2, 4이지만, 첫 표는 비가 일정하고 둘째 표는 곱이 일정하다는 조건이 달라집니다.

정답을 가리고 근거를 다시 세우는 확인

풀이를 고칠 때는 먼저 답을 가린 뒤 첫 표 옆에 13/1, 26/2, 52/4를 적어 모두 13이라고 묶어 봅니다. 이어서 ‘왜 y=13x인가?’라는 질문에는 “각 행에서 y를 x로 나눈 값이 13으로 같아서 y는 x의 13배이다”라고 식과 함께 설명할 수 있는지 확인합니다. 두 번째 표는 힌트 없이 xy를 직접 적어 52가 반복되는지 살피게 합니다. 며칠 뒤에는 같은 표를 다시 보며 y/x가 일정한 표에는 y=ax, xy가 일정한 표에는 y=a/x 형태를 연결해 볼 수 있습니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 비·곱 비교표에 동그라미를 치거나 그래프와 식으로 근거를 보이는 방식도 가능합니다. 다만 첫 표의 비 13, 둘째 표의 곱 52를 각각 제시하고 비교 표를 스스로 분류할 수 있는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.