전주혁신도시 중1수학과외

좌표평면에서 경계에 선 점을 판단한 실제 풀이

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한 줄의 판단에서 드러난 오류

문제에는 좌표평면 위에 점 P가 표시되어 있었고, 점 P의 좌표를 쓰고 어느 곳에 놓였는지 설명하라고 했다. 학생은 가로축에서 오른쪽으로 3칸, 세로축에서 위로 2칸을 읽은 뒤 P(3, 2)라고 적었다. 여기까지는 올바른 읽기였다.

다음 그림에서 점 Q는 세로축 위에 표시되어 있었다. 학생은 Q를 위쪽에 있으니 제1사분면에 있다고 판단하고 Q(0, 4)를 제1사분면이라고 썼다. 풀이가 어긋난 최초의 순간은 좌표의 값을 읽은 때가 아니라, 축 위의 점에도 사분면을 붙인 판단이었다. 두 축이 나누는 네 영역과 축 자체를 같은 것으로 본 것이다.

제1사분면은 두 좌표가 모두 양수인 영역이고, 축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다.

축과 사분면을 분리해 다시 읽기

교정할 때 학생이 이미 정확히 읽은 Q의 좌표는 그대로 두었다. 대신 좌표평면에 가로축과 세로축을 굵게 표시하고, 네 영역에 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ를 적었다. Q(0, 4)의 첫 번째 수는 가로 방향 위치를 나타내므로 0이면 세로축 위에 놓인다. 두 번째 수가 4라는 이유로 오른쪽 위 영역으로 옮겨 갈 수는 없다.

학생은 Q를 세로축 위에 다시 찍고 다음처럼 정리했다.

• P(3, 2): 두 좌표가 양수이므로 제1사분면
• Q(0, 4): 세로축 위이므로 사분면에 속하지 않음
• R(-2, 3): 첫 좌표가 음수이고 둘째 좌표가 양수이므로 제2사분면

이 과정에서 좌표의 순서를 바꾸지 않도록 괄호 안의 첫 숫자는 가로축, 둘째 숫자는 세로축이라고 문제 옆에 적었다. 축에 놓인 점을 판단할 때는 두 좌표의 부호만 기계적으로 보는 것이 아니라, 0이 있는지 먼저 확인해야 한다는 이유도 함께 설명했다.

그림이 아닌 문장으로 바뀐 문제

같은 개념을 확인하기 위해 숫자만 바꾸지 않고 문제의 형태를 바꾸었다. 이번에는 “점 S는 원점에서 왼쪽으로 5칸, 아래로 1칸 이동한 곳에 있다. 점 S의 좌표와 사분면을 말하라.”라는 문장을 제시했다.

학생은 이동 방향을 좌표로 번역해 S(-5, -1)이라고 썼다. 첫 좌표가 음수이므로 왼쪽, 둘째 좌표가 음수이므로 아래쪽이라고 설명한 뒤 제3사분면이라고 답했다. 이어 “점 T는 원점에서 위로 3칸 이동한 세로축 위에 있다”라는 조건을 주자 T(0, 3)으로 표현하고, 이번에는 어느 사분면에도 속하지 않는다고 말했다. 그림을 보고 위치를 말하는 방식에서 문장을 읽고 좌표를 정하는 방식으로 바뀌었지만, 축과 영역을 구분하는 기준은 같았다.

표현을 바꾸어도 같은 기준으로 확인하기

다음 활동에서는 네 점의 좌표를 표에 넣고 위치를 설명하게 했다. 학생은 좌표를 바로 사분면으로 바꾸지 않고, 먼저 첫 좌표와 둘째 좌표의 부호를 각각 표시했다.

• A(-3, 2): 왼쪽 위, 제2사분면
• B(4, -2): 오른쪽 아래, 제4사분면
• C(-1, -5): 왼쪽 아래, 제3사분면
• D(0, -3): 세로축 아래, 사분면 없음

특히 D를 표에서 꺼내 좌표평면에 다시 찍게 했다. 첫 좌표가 0이므로 세로축에서 벗어나지 않고, 둘째 좌표가 음수이므로 원점 아래에 놓인다는 설명이 그림과 일치했다. 점의 위치, 순서쌍, 사분면을 서로 바꿔 말할 때도 좌표의 순서를 먼저 확인해야 한다는 점을 스스로 연결했다.

힌트 없이 다시 세운 최종 풀이

수업 끝에는 풀이 예시와 표시를 가린 뒤, “점 M은 (-4, 0)이고 점 N은 (2, -6)이다. 각각 어디에 놓이는가?”를 제시했다. 학생은 도움 없이 M의 첫 좌표가 음수이고 둘째 좌표가 0이므로 가로축 위 왼쪽에 있으며 사분면에는 속하지 않는다고 적었다. N은 첫 좌표가 양수, 둘째 좌표가 음수이므로 제4사분면이라고 설명했다.

이어 두 점을 직접 좌표평면에 표시한 뒤, M이 가로축 위에 찍히고 N이 오른쪽 아래에 찍히는지 확인했다. “좌표는 가로축 방향을 먼저 읽고 세로축 방향을 나중에 읽는다. 0이 있으면 해당 축 위이므로 사분면을 붙이지 않는다.”라고 풀이 이유를 말하고, 자신이 처음 Q를 제1사분면으로 분류했던 판단도 이 기준에 어긋났다고 짚었다. 전주혁신도시중1수학과외에서 진행한 이 재현 과정은 답만 맞힌 것이 아니라 좌표를 읽는 순서와 경계에 대한 판단 근거까지 스스로 검증한 장면이었다.