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수열의 극한 — 진동하는 수열과 극한 부재

두 부분수열이 서로 다른 값으로 수렴한다면 원래 수열은 수렴하지 않습니다. 전주혁신도시과외에서 이 유형을 다룰 때도 계산보다 먼저 부분수열의 극한을 비교하는 습관을 확인합니다.

평균값을 극한으로 적은 풀이의 오류

학생은 다음 수열의 극한을 구하면서 두 부분수열의 값이 1과 3으로 나뉘는 것을 확인한 뒤, 그 평균인 2를 전체 수열의 극한으로 적었습니다.

a_n=2+(-1)^n

짝수 번째 항과 홀수 번째 항을 나누면

a_{2k}=2+1=3,\qquad a_{2k-1}=2-1=1

따라서 두 부분수열은 각각

\lim_{k\to\infty}a_{2k}=3,\qquad \lim_{k\to\infty}a_{2k-1}=1

로 수렴합니다. 값의 평균이 2라는 사실은 수열의 항들이 평균값 주변에 있다는 뜻일 뿐, 항들이 2에 가까워진다는 뜻은 아닙니다. 실제 항은 계속 3과 1 사이를 오갑니다.

부분수열 판정의 핵심

수열이 하나의 극한으로 수렴한다면 모든 부분수열도 같은 극한으로 수렴해야 합니다. 그런데 여기서는 짝수 번째 부분수열의 극한과 홀수 번째 부분수열의 극한이 다르므로 전체 수열의 극한은 존재하지 않습니다.

공비의 절댓값만 보는 경우와 구분하기

다음과 같이 진동하는 항이 포함되어도 모든 수열이 발산하는 것은 아닙니다.

수열 짝수·홀수 항의 변화 극한
(-1)^n 1과 -1을 반복 존재하지 않음
\frac{(-1)^n}{n} 부호는 바뀌지만 크기가 0에 가까워짐 0
\left(-\frac12\right)^n 부호는 바뀌고 절댓값이 0에 가까워짐 0

(-1)^n처럼 진동의 크기가 줄어들지 않으면 극한이 없습니다. 반대로 \frac{(-1)^n}{n}은 진동하더라도 절댓값이

\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac1n\to0

이므로 수열 전체가 0으로 수렴합니다.

새 문제에 적용하기

수열

b_n=\frac{3n+(-1)^n}{n+1}

의 극한을 판단해 봅니다. 식을 나누어 쓰면

b_n=\frac{3n}{n+1}+\frac{(-1)^n}{n+1}

첫째 항은 3으로 수렴하고, 둘째 항은 절댓값이 \frac1{n+1}보다 작으므로 0으로 수렴합니다. 따라서

\lim_{n\to\infty}b_n=3

입니다. 부호가 반복된다는 한 가지 특징만으로 극한의 부재를 결정하지 말고, 진동하는 부분의 크기가 0으로 줄어드는지 먼저 확인해야 합니다.

최종 점검 기준

  • 짝수 항과 홀수 항을 각각 계산했는가?
  • 두 부분수열의 극한이 실제로 같은가?
  • 진동하는 항의 절댓값이 0으로 가는가?
  • 평균값을 극한으로 착각하지 않았는가?

전주혁신도시고3수학과외에서도 이 문제는 계산 속도보다 수렴 판정의 근거를 문장으로 설명하는지를 중점적으로 확인합니다.

전주혁신도시 고2수학과외 학부모 후기

시험지를 다시 꺼내 본 아이가 적분 문제의 그래프부터 들여다보고 있더라고요. 교점과 적분구간의 경계에 표시가 되어 있었고, 다시 확인할 부분만 눈에 띄게 남겨둔 상태였어요. 답이나 풀이 전체를 처음부터 훑는 모습과는 조금 달랐습니다. 교과서를 책장에 꽂으려다 책상 위 문제를 보게 됐는데, 적분 문제에서도 같은 표시가 있었습니다. 예전에는 막힌 부분이 나오면 어디서 어려워졌는지 찾기보다 첫 줄부터 다시 읽거나 풀곤 했거든요. 그런데 이번에는 그래프에 교점과 구간 경계를 먼저 짚어 둔 뒤 식을 세워 놓았어요. 전주혁신도시 수학과외를 언급하며 상담하던 때보다도, 집에서 이런 식으로 풀이의 시작점을 찾아가는 모습이 먼저 눈에 띄었습니다.

★★★★☆학부모 후기

새 단원 문제집을 처음 펼쳐 보던 저녁, 아이가 어려운 문제 옆에 별표를 해두지 않고 계산한 줄 번호를 적어 놓았더라고요. 잠깐 방을 확인하러 갔다가 발견했는데, 어디가 막혔는지 표시가 꽤 구체적으로 남아 있어서 눈에 띄었어요. 새 단원 숙제를 끝낸 뒤에도 같은 방식으로 정리해 둔 걸 보니 전과는 달랐습니다. 예전에는 복습할 때 문제 전체를 처음부터 다시 살펴보곤 했거든요. 이번에는 다시 볼 계산 부분만 짚어 놓고, 그 한 줄을 확인한 다음 곧바로 다음 문제로 넘어가고 있었습니다. 전주혁신도시 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 떠올랐는데, 별표 하나보다 계산 줄 번호가 더 분명하게 보이더라고요.

★★★★☆학부모 후기

방학 공부 계획을 세우며 전주혁신도시 수학 과외를 시작했는데, 아이는 기분에 따라 공부하고 질문할 문제도 따로 준비하지 않는 편이었습니다. 선생님은 수업 초반 잘한 부분부터 구체적으로 짚어 주고, 시간 제한 없이 천천히 다시 풀어 볼 여유를 주셔서 시험 전 부담도 조금씩 덜어 주셨습니다. 이제는 모르는 내용을 숨기지 않고 먼저 말하며, 설명을 들은 뒤 스스로 다시 시도하는 모습이 보여 부모로서 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

주말마다 공부 계획을 세울 때 선생님께 먼저 이야기해 보면서, 전주혁신도시에서 받는 수업이 단순히 문제만 푸는 시간이 아니라는 생각이 들었습니다. 숙제를 확인할 때도 틀린 문제를 왜 그렇게 풀었는지 차분히 물어봐 주셔서 막힌 부분을 숨기지 않게 됐고, 몇 주 지나니 해야 할 분량을 스스로 살펴보고 시작하는 날이 늘었습니다.

★★★★☆학부모 후기

전주혁신도시 수학과외를 시작한 뒤 아이가 어려운 문제에 매달리기보다 쉬운 문제부터 차분히 다시 풀기 시작했습니다. 선생님은 계획이 생활과 맞지 않을 때도 무리하게 진도를 밀지 않고, 수업 중간마다 먼저 질문을 이끌어 주셨습니다. 시험기간에도 공부 흐름을 유지했고, 집에서 수업 내용을 이야기하는 모습이 늘어 뿌듯했습니다.

★★★★★학부모 후기