전주혁신도시 중2수학과외

두 식에 다시 대입하는 연립일차방정식 풀이

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첫 식은 맞았지만, 대입 순간 계산이 흔들리다

문제는 다음과 같았다.

2x-y=7, x+2y=-1을 풀고, 구한 값을 두 식에 대입하여 확인하시오.

학생은 첫 식에서 y=2x-7이라고 정리한 뒤 두 번째 식에 대입했다. 공책에는 x+2(2x-7)=-1이라고 정확히 적었다. 이어서 5x-7=-1, 5x=6, x=6/5, y=-23/5까지 계산했다. 첫 식에 대입하여 2×6/5-(-23/5)=7이 되는 것도 확인했다.

문제는 두 번째 식을 확인할 때 나타났다. 학생은 y에 음수 분수인 -23/5를 넣으면서 6+2×-23/5처럼 괄호 없이 적었다. 계산 줄에서는 부호를 한 번 바꾸고, 다음 줄에서는 다시 더하는 식으로 처리해 두 번째 식의 값이 -34/5라고 나왔다. 결과가 틀어진 최초의 판단은 답을 다시 구한 것이 아니라, 음수인 전체 값을 대입하면서 괄호를 생략한 선택이었다.

바꾼 것은 한 줄뿐이었다

이미 맞았던 식의 정리 과정은 그대로 두고, 대입할 때 음수 값을 하나의 묶음으로 표시하도록 교정했다.

• y=-23/5를 그대로 옮기지 않고 y=(-23/5)로 표시한다.
• x+2y에는 6/5+2(-23/5)를 넣는다.
• 분자와 부호를 한 줄에서 정리한 뒤 결과를 원래 식의 우변과 비교한다.

학생은 두 번째 식을 6/5+2(-23/5)=6/5-46/5=-40/5=-8로 계산했다. 이 값은 문제의 두 번째 식 우변 -1과 맞지 않았다. 그래서 앞선 풀이를 거슬러 올라가 첫 식에서 y를 정리한 부분을 다시 살폈다. 2x-y=7에서 -y=7-2x이므로 y=2x-7이 아니라 y=2x-7은 맞지만, 첫 번째 대입 뒤 계산이 5x-14=-1이 되어야 한다는 점을 찾아냈다. 학생은 2(2x-7)을 4x-7로 처리했던 것이다. 괄호를 다시 살려 4x-14로 고치자 x=13/5, y=-9/5가 나왔다.

이제 두 식을 각각 확인했다.

• 2×13/5-(-9/5)=26/5+9/5=7
• 13/5+2(-9/5)=13/5-18/5=-1

학생은 두 값의 대입 결과가 각각 7과 -1로 원래 우변과 같아야 해 답을 확정할 수 있다고 말로 설명했다. 단순히 정답만 적지 않고, 식을 변형한 뒤에도 두 원래 식을 모두 통과해야 한다는 확인 기준을 세운 것이다.

식의 모양과 질문을 바꾼 독립 적용

다음 문제에서는 식의 순서와 부호를 바꾸고, 먼저 y의 값을 묻는 방식으로 제시했다.

3y-x=11, 2x+y=4일 때 x와 y를 구한 뒤, y의 값을 첫 번째 식과 두 번째 식에 각각 대입하여 확인하시오.

학생은 두 번째 식에서 y=4-2x로 바로 고르지 않고, 먼저 2x+y=4를 y=4-2x로 정리했다. 첫 번째 식에 넣을 때 3(4-2x)-x=11처럼 괄호를 표시했다. 12-6x-x=11, -7x=-1이므로 x=1/7, y=26/7을 얻었다.

이번에는 숫자만 바뀐 문제가 아니었다. y를 먼저 구하고, 음수 계수가 포함된 식에서 괄호를 유지해야 하며, 두 식 모두에 같은 값을 넣어야 했다. 학생은 첫 번째 식에 3×26/7-1/7=11을 대입하고, 두 번째 식에 2×1/7+26/7=4를 대입했다. 계산 전에 두 식의 우변을 따로 동그라미 쳐 비교 기준으로 삼았다.

도움 없이 세운 확인 기준

수업 후 제시한 새 문제에서 학생은 풀이를 시작하기 전 “한 식에서 구한 값을 다른 식에 넣을 때 음수나 식 전체는 괄호로 묶고, 마지막에는 두 원래 식을 모두 확인하겠다”고 먼저 말했다. 해를 구한 뒤에는 경계처럼 보이는 값에 바로 결론을 내리지 않고, 각 식의 좌변과 우변을 따로 계산해 비교했다.

특히 한 대입 결과만 맞았을 때 답으로 확정하지 않고, 두 번째 식에서 값이 다르면 앞의 대입과 괄호부터 되돌아가겠다고 설명했다. 전주혁신도시중2수학과외에서 확인한 변화는 계산을 더 많이 한 것이 아니라, 구한 값이 두 식을 동시에 만족하는지 스스로 검증하는 첫 판단을 세웠다는 데 있다.