만성지구 중3수학과외

만성지구 중3수학과외에서 확인한 이차함수 대칭축 읽기

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시간 제한 풀이에 남은 한 줄

문제는 다음과 같았습니다.

함수 y=2(x-3)²-5의 그래프의 대칭축을 구하여라.

학생은 유형 이름이나 풀이 순서를 적지 않고 바로 식을 옮겼습니다.

• y=a(x-p)²+q에서 p=3
• 꼭짓점은 (3, -5)
• 대칭축은 y=3

꼭짓점의 x좌표를 3으로 읽은 것까지는 맞았습니다. 하지만 마지막 줄에서 축을 세로선이 아니라 가로선처럼 적었습니다. 이때 최종 답만 고치면 실수의 원인을 놓치게 됩니다. 풀이를 거꾸로 살펴보니, 예전에 보았던 좌표 그림의 모양을 떠올리며 ‘축은 y=○○’이라고 먼저 쓰려 한 것이 가장 이른 어긋남이었습니다.

축의 이름을 결정한 한 가지 기준

이번에는 다른 공식을 덧붙이지 않고, 괄호 안의 제곱 부분만 확인했습니다. 대칭축은 제곱된 부분이 0이 되는 x값을 기준으로 세워지는 선입니다.

주어진 식에서

(x-3)=0이므로 x=3입니다.

따라서 답은 x=3이고, 학생이 이미 적은 꼭짓점 (3, -5)도 그대로 사용할 수 있습니다. 여기서 고친 행동은 하나뿐입니다. 식을 보자마자 ‘축은 y=’를 쓰지 않고, 먼저 괄호 안을 0으로 놓아 축의 문자를 확인하는 것입니다. x값을 고르는 기준을 한 줄로 고정하자, 축의 방향을 그림의 인상으로 판단하지 않게 되었습니다.

같은 기준을 다른 모양으로 옮겨 보기

다음 문제는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 식을 읽는 방향과 질문을 바꾸어 제시했습니다.

어떤 이차함수의 그래프가 x=-4를 대칭축으로 한다. 다음 보기 중 꼭짓점의 x좌표와 연결되는 식의 형태를 고르시오.
① y=-(x-4)²+1　② y=3(x+4)²-2　③ y=2(x-4)²-7

학생은 먼저 보기의 괄호를 비교했습니다. ①과 ③은 (x-4)이므로 괄호가 0이 되는 x가 4입니다. ②는 (x+4)=0이 되는 x가 -4이므로 조건에 맞는 식은 ②라고 설명했습니다.

이번에는 완성된 식에서 축을 찾는 대신, 주어진 축을 이용해 식의 괄호를 판별했습니다. 그래도 사용한 기준은 같았습니다. 괄호 안이 0이 되는 x를 찾고, 그 값을 대칭축의 x값으로 기록한 것입니다.

며칠 뒤, 표시 없이 다시 확인한 기록

시간을 두고 새 문제를 제시했습니다.

y=-3(x+2)²+6의 그래프에서 대칭축을 쓰고, x좌표가 대칭축에서 같은 거리에 있는 두 점의 x좌표가 -5와 1일 때 두 값으로 기준을 확인하여라.

학생은 힌트 없이 다음과 같이 풀이했습니다.

• x+2=0
• x=-2
• 따라서 대칭축은 x=-2
• -5와 1은 각각 -2에서 3만큼 떨어져 있으므로 같은 대칭 기준을 갖는다.

마지막으로 두 x좌표의 가운데 값을 계산했습니다.

(-5+1)÷2=-2

학생은 “괄호 안을 0으로 만들면 x=-2이고, 대칭인 두 x좌표의 가운데 값도 -2이므로 같은 결과가 나온다”고 설명했습니다. 처음처럼 식의 모양을 보고 축을 y=-2로 쓰지 않았고, 부호가 플러스인 괄호에서도 x값을 직접 구했습니다.

이처럼 만성지구중3수학과외에서 확인한 핵심은 새로운 공식을 많이 외우는 일이 아니라, y=a(x-p)²+q에서 괄호 안이 0이 되는 x를 대칭축으로 선택하는지를 독립적으로 재현하는 것입니다.