만성지구 고등수학과외

만성지구 고등수학과외에서는 극한 단원에서 자주 생기는 작은 오해를 풀이 장면 속에서 바로 확인한다. 전주솔내고등학교와 양현고등학교 주변 학생도 문제를 풀 때 식의 모양보다 먼저 “x가 13에 가까워질 때 함수값이 어디로 다가가는가”를 읽어야 한다. 떡정거리와 반달마을 생활권에서 진행한 수업에서도 비슷한 장면이 반복됐다. 학생은 극한값과 x=13에서의 함수값을 같은 것으로 판단했고, 그 판단이 실제 오류로 이어지는 순간을 직접 기록했다.

x가 13에 가까워질 때 보는 값

극한은 x가 정확히 13일 때의 함수값을 묻는 것이 아니다. x가 13보다 조금 작은 값과 조금 큰 값으로 다가갈 때 함수값이 어느 한 값에 가까워지는지를 확인하는 과정이다. 따라서 x=13에서 그래프가 비어 있거나 함수값이 다른 위치에 따로 표시되어도, 주변의 함수값이 한 점으로 모이면 극한은 존재할 수 있다.

수업에서 학생은 다음과 같은 그래프를 읽었다. 직선의 구멍은 (13, 7)에 있고, x=13에서 채워진 점은 (13, 2)에 있었다. 학생은 채워진 점이 실제 함수값이라는 이유로 “극한도 2”라고 적었다. 풀이 첫 줄에서 좌우의 그래프가 가까워지는 높이를 살피지 않고, x=13에 찍힌 점부터 답으로 옮긴 것이 첫 오류였다.

극한은 x=13에서의 점이 아니라, x가 13으로 다가갈 때 주변 그래프가 향하는 값이다.

첫 오류를 그래프 읽기로 고치기

오류를 고칠 때 공식을 새로 외우게 하기보다 그래프에 보조선을 그었다. 먼저 x축에서 13을 표시하고, 그곳을 지나 위로 올린 세로 보조선을 그었다. 그런 다음 세로선과 만나는 점을 하나씩 구분했다. 직선에 뚫린 점은 주변에서 다가가는 목표점이고, 채워진 점은 x=13에서 실제로 정의된 함수값이었다.

학생은 왼쪽에서 13에 가까이 갈 때 y가 7에 가까워지고, 오른쪽에서도 y가 7에 가까워지는 것을 확인했다. 그래서 양쪽 극한은 모두 7이며

x가 13으로 갈 때의 극한값은 7, f(13)은 2

라고 한 줄로 고쳐 적었다. 두 숫자가 다르다는 사실은 계산 실수가 아니라 함수의 정의 방식에서 생긴 결과였다. 그래프의 구멍과 채워진 점을 같은 점으로 읽지 않는 것이 교정의 출발점이 됐다.

조건을 바꾼 문제에서 혼자 판단하기

이후에는 원래 그림을 보지 않고 조건을 바꾼 새 문제를 풀게 했다. x가 13보다 작은 쪽에서 함수값이 5로 가까워지고, 큰 쪽에서는 8로 가까워지며, x=13의 함수값은 4라고 제시했다. 학생은 이번에는 채워진 점 4를 먼저 답으로 쓰지 않고 좌우를 따로 비교했다. 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 서로 다르므로 양쪽 극한은 존재하지 않는다고 판단했다. f(13)=4라는 정보는 확인할 수 있지만, 그것이 극한의 존재를 만들어 주지는 않는다는 점도 설명했다.

조건의 순서를 바꿔 “x=13에서의 함수값은 4이고, 좌우에서 다가가는 값은 모두 5”라고 제시했을 때도 같은 기준을 적용했다. 함수값을 먼저 알려 주어도 극한을 결정하는 정보는 좌우의 접근값이라는 것을 도움 없이 구별했다.

마지막에는 원래 식으로 되돌아가기

그래프 판단 뒤에는 식에 값을 다시 대입하는 검산을 진행했다. 예를 들어 x가 13이 아닐 때

f(x) = (x²-169)/(x-13)

이라면 x²-169를 (x-13)(x+13)으로 인수분해할 수 있다. x≠13인 범위에서 f(x)=x+13이므로 x가 13으로 다가갈 때의 값은 26이다. 그러나 원래 식은 x=13에서 분모가 0이 되어 직접 대입할 수 없다. 만약 함수가 따로 f(13)=2로 정의되어 있다면 극한은 26, 함수값은 2가 된다.

학생은 약분한 식에 x=13을 무심코 대입한 뒤 “함숫값도 26”이라고 하지 않고, 약분이 x≠13일 때만 가능하다는 조건을 다시 확인했다. 이 재대입 검산으로 극한과 함수값을 섞었던 처음의 습관을 바로잡았다.

자주 묻는 점

극한값과 함수값이 같으면 같은 개념인가요?

개념은 다르다. 우연히 두 값이 같을 수 있지만, 극한은 주변에서 다가가는 값이고 함수값은 해당 x에서 정의된 값이다.

그래프에 구멍이 있으면 극한이 항상 없나요?

아니다. 좌우에서 같은 높이로 다가가면 구멍이 있어도 극한은 존재한다.

채워진 점은 극한을 구할 때 무시하나요?

극한 자체를 구할 때는 주변의 흐름을 먼저 본다. 다만 채워진 점은 f(13) 같은 실제 함수값을 확인할 때 필요하다.

좌극한과 우극한이 다르면 함수값도 없는 건가요?

그렇지 않다. x=13에서 함수값은 따로 정의될 수 있지만, 좌우 극한이 다르면 양쪽 극한은 존재하지 않는다.

약분한 뒤에는 항상 그 식에 13을 넣어도 되나요?

약분 과정에서 제외된 x의 조건을 확인해야 한다. x=13에서 원래 식이 정의되지 않았다면 약분한 식의 값을 그대로 함수값으로 볼 수 없다.